logowanie

matematyka » forum » matematyka » temat

Obliczyć pierwiastek równania

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorWiadomość

karolinka22222
postów: 6
2020-05-09 18:00:02

Obliczyć pierwiastek równania f(x) = x3 + x2 - 3x - 3 = 0
w przedziale [1, 2] korzystając z metody:
a) połowienia

Wiadomość była modyfikowana 2020-05-09 19:25:54 przez karolinka22222

chiacynt
postów: 749
2020-05-10 12:08:54

$ f(x) = x^3 + x^2 - 3x -3 = 0, \ \ x\in [1, 2] $

Metoda połowienia (bisekcji)

Wielomian jest funkcją ciągłą w zbiorze $ R $

$ f(1) = 1^3 +1^2 -3\cdot 1 -3 = -4<0 $

$ f(2) = 2^3 +2^2 -3\cdot 2 -3 = 3>0 $

W przedziale $ [1, 2] $ funkcja $ f $ przyjmuje wartości różnych znaków, to znaczy $ f(1)\cdot f(2)< 0, $ więc istnieje taki punkt $ c\in [1,2], $ że $ f(c) = 0 $

Dzielimy przedział $ [1, 2] $ na połowę.

$ \frac{1+2}{2} = \frac{3}{2}$

Obliczamy wartość funkcji $ f $ punkcie $ \frac{3}{2} $

$ f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^3 + \left(\frac{3}{2}\right)^{2} - 3\cdot \frac{3}{2}- 3 = \frac{27}{8}+\frac{9}{4}- 3\frac{3}{2} -3 = \frac{27}{8}+\frac{9}{4}-\frac{9}{2} - 3 = \frac{27}{8}+\frac{18}{8}-\frac{36}{8}-\frac{24}{8} = \frac{45 -60}{8}= -\frac{15}{8}< 0.$

Zatem $ c\in \left[\frac{3}{2}, 2\right ],$ bo $ f\left(\frac{3}{2}\right)\cdot f(2) = -\frac{15}{8}\cdot 3 = -\frac{45}{8}<0$

Dzielimy przedział $ \left[ \frac{3}{2}, 2\right] $ na połowę.

$ \frac{\frac{3}{2}+2}{2} = \frac{7}{4} $

Obliczamy wartość wielomianu w punkcie $ \frac{7}{4} $

$ f\left(\frac{7}{4}\right)=\left(\frac{7}{4}\right)^3 +\left(\frac{7}{4}\right)^2 -3\cdot \frac{7}{4} - 3 = \frac{343}{64} +\frac{49}{16}-\frac{21}{4}- 3 = \frac{343}{64}+\frac{196}{64}-\frac{336}{64}-\frac{192}{64} = \frac{539- 528}{64}= \frac{11}{64} >0 $

Stąd wynika, że $ c\in \left[\frac{3}{2}, \frac{7}{4}\right] $ bo $ f\left(\frac{3}{2}\right)\cdot f\left(\frac{7}{4}\right)< 0 $

Dzielimy przedział $ \left[ \frac{3}{2}, \frac{7}{4}\right] $ na połowę.

$ \frac{\frac{3}{2}+ \frac{7}{4}}{2} = \frac{\frac{6}{4}+\frac{7}{4}}{2} = \frac{13}{8} $

Obliczamy wartość funkcji $ f\left(\frac{13}{8} \right)$

Posłużę się kalkulatorem

$ f\left(\frac{13}{8}\right)= f(1,625) = (1,625)^3 +(1,625)^2- 3\cdot 1,625 - 3 = -0,943359375<0 $

Wybieramy przedział $ c \in \left[\frac{13}{8}, \frac{7}{4}\right] $ bo, $ f \left(\frac{13}{8}\right)\cdot f\left(\frac{7}{4}\right) < 0 $

Dzielimy przedział $ \left[\frac{13}{8}, \frac{7}{4}\right] $ na połowę

$ \frac{\frac{13}{8}+\frac{7}{4}}{2}= \frac{27}{16}$

Obliczamy wartość wielomianu

$ f\left(\frac{27}{16}\right)= f(1,6875)= (1,6875)^3 + (1,6875)^2 -3\cdot 1,6875 -3 = -0,409423828125< 0 $

Wybieramy przedział $ c\in \left[\frac{27}{16},\frac{7}{4}\right] $

Dzielimy na połowę

$\frac{\frac{27}{16}+\frac{7}{4}}{2} = \frac{55}{32} = 1,71875$

Obliczamy wartość funkcji dla tego punktu

$ f(1,71875) = 1,71875^3 +1,71875^2 -3\cdot 1,71875 -3 = -0.124786376953125<0 $


Uwzględniamy przedział $ \left[ \frac{55}{32}, \frac{7}{4}\right] $

Dzielimy na połowę

$ \frac{\frac{55}{32} + \frac{7}{4}}{2} = \frac{\frac{55}{32}+ \frac{56}{32}}{2}= \frac{111}{64}= 1,734375. $

Obliczamy wartość wielomianu

$ f(1,734375) = 1,734375^3 +1,734375^2 -3\cdot 1,734375-3 = 0,022029887608984375 $

Można jeszcze kontynuować procedurę połowienia przedziałów w celu zwiększenia dokładności obliczeń miejsca zerowego wielomianu.

Znaleźliśmy miejsce zerowe wielomianu $ c \approx 1,7343745$ z dokładnością do $ 10^{-2}.$

Rozwiązanie dokładne to $\sqrt{3}.$

W praktyce numerycznej aby nie wykonywać ręcznie tylu obliczeń, można opracować prostą procedurę w języku Matlab-Octave, Mathematica o nazwie "bisekcja(f, int, epsilon)" obliczania zer funkcji lub skorzystać z gotowych procedur "fsolve" w tych językach.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj