logowanie

matematyka » forum » matematyka » temat

Zagadkowy ciąg

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorWiadomość

naviera
postów: 6
2020-09-24 13:30:07

Pilne! Szukam wzoru ogólnego dla następującego ciągu:

1,3,9,21,39,66,103,152,213,289,381,491,619,768,939,1134.

Może być z pominięciem kilku początkowych wyrazów.


Bardzo proszę o pomoc.



Szymon
postów: 657
2020-09-24 14:37:27

Niech będzie dany ciąg:
$a_{1}=2, $
$a_{2}=0, $
$a_{3}=3, $
$a_{4}=1, $
$a_{5}=2, $
$a_{6}=0, $
$a_{7}=3, $
$a_{8}=1, $
itd..

Teraz tworzymy ciąg $b_{n}$ w następujący sposób:
$b_{0}=4, $
$b_{n}=b_{n-1}+a_{n} ,n\ge1$

Teraz tworzymy ciąg $c_{n}$ w następujący sposób:
$c_{0}=2, $
$c_{n}=c_{n-1}+b_{n} ,n\ge1$

Na końcu tworzymy ciąg $d_{n}$ w następujący sposób:
$d_{0}=1, $
$d_{n}=d_{n-1}+c_{n} ,n\ge1$

Ciąg który szukamy, to ciąg $d_{n}$.


Szymon
postów: 657
2020-09-24 18:35:20

Szukany ciąg możemy rozbić na 4 podciągi i zapisać wzory ogólne dla nich:
$d_n=\left\{\begin{matrix} 16n^3-28n^2+10n+3, n=4k+1 \\ 16n^3-16n^2-n+4, n=4k+2 \\ 16n^3-4n^2-6n+3, n=4k+3 \\ 16n^3+8n^2-5n+2, n=4k \end{matrix}\right.$


naviera
postów: 6
2020-09-24 20:20:53

Dziękuję za pomoc.

A może znalazłby ktoś wzór ogólny tego ciągu przy założeniu, że pierwszy podany wyraz ma numer 5? Tzn.a_{5}=1, a_{6}=3, ..., a_{20}=1134,itd? Bo właściwie to tego potrzebuję. W jak najprostszej formie. Wiem, że da się znaleźć taką postać, ale już za dużo podobnych wzorów ostatnio szukałam i mam mętlik w głowie, a deadline się zbliża :)

Wiadomość była modyfikowana 2020-09-24 20:21:53 przez naviera

Szymon
postów: 657
2020-09-25 11:18:54

Jeżeli mamy opuścić akurat pierwsze cztery wyrazy tego ciągu, to wzór ogólny który zapisałem powyżej także się sprawdzi idealnie. Niestety nie wiem jak to zapisać w postaci jednego wzoru.


naviera
postów: 6
2020-09-25 12:28:16

Ok. Może przedstawię wam całe zadanie, bo to jest tylko fragment, którego mi brakuje. Może ktoś znajdzie lepszy pomysł jak zapisać całość:

Mam następujący ciąg:

31, 107, 269, 529, 953, 1581, 2467, 3671, 5259, 7303, 9881, 13077, 16981, 21689, 27303, 33931, 41687, 50691, 61069

Przy czym ciąg zaczyna się od wyrazu nr 2 $a_{2}=31,...,a_{20}=61069$.

Doszłam do takiej postaci:

$a_{N}=4N^{3}+(N-4)N^{2}+N*R-1$ (lub kolejno -3,-5,-7,... dla co 4 wyrazu), gdzie R to ciąg, którego mi brakuje i o który początkowo pytałam. Podaję przykład(nie mogę załadować pliku)


$N$
$2 \ \ \ \ \ 31=4*2^3+0*2^2+2*0-1$
$3 \ \ \ \ \ 107=4*3^2+0*3^2+3*0-1$
$4 \ \ \ \ \ 269=4*4^3+1*4^2+4*0-3$
$5 \ \ \ \ \ 529=4*5^3+1*5^2+5*1-1$
$6 \ \ \ \ \ 953=4*6^3+2*6^2+6*3-1$
$7 \ \ \ \ \ 1581=4*7^3+3*7^2+7*9-1$
$8 \ \ \ \ \ 2467=4*8^3+4*8^2+8*21-5$
$9 \ \ \ \ \ ................+9*39-1$
$10 \ \ \ \ \ ...............+10*66-1$
$11 \ \ \ \ \ ...............+11*103-1$
$12 \ \ \ \ \ ...............+12*152-7$
Itd.


Zależność taka na pewno jest, bo liczę już nie pierwszy taki ciąg, oparty o pewne współczynniki, które wyznaczam w programie. Chcę zapisać analityczną postać takiego ciągu. Jestem blisko, brakuje mi tylko tego ostatniego fragmentu układanki :)

Wiadomość była modyfikowana 2020-09-25 16:40:08 przez naviera

naviera
postów: 6
2020-09-25 16:39:23

Szymon wówczas ostatni fragment można zapisać tak:

$d_n=\left\{\begin{matrix} N(16n^3-28n^2+10n+3)-1, n=1,2,3,..., N=4n+1\\ N(16n^3-16n^2-n+4)-1, n=1,2,3,..., N=4n+2 \\ N(16n^3-4n^2-6n+3)-1, n=1,2,3,..., N=4n+3 \\ N(16n^3+8n^2-5n+2)-(2n+3), n=1,2,3,..., N=4n \end{matrix}\right.$

np.
$N=5,9,13,...$

$5(16*1^3-28*1^2+10*1+3)-1=5*1-1$,
$9(16*2^3-28*2^2+10*2+3)-1=9*39-1$,
$13(16*3^3-28*3^2+10*3+3)-1=13*213-1$,

$N=6,10,14,...$

$6(16*1^3-16*1^2-1+4)-1=6*3-1$,
$10(16*2^3-16*2^2-2+4)-1=10*66-1$,
$14(16*3^3-16*3^2-3+4)-1=14*189-1$,

$N=7,11,15,...$

$7(16*1^3-4*1^2-6*1+3)-1=7*9-1$,
$11(16*2^3-4*2^2-6*2+3)-1=11*103-1$,
$15(16*3^3-4*3^2-6*3+3)-1=15*381-1$

$N=8,12,16,...$

$8(16*1^3+8*1^2-5*1+2)-5=8*21-5$,
$12(16*2^3+8*2^2-5*2+2)-7=12*152-7$,
$16(16*3^3+8*3^2-5*3+2)-9=16*491-9$.

Tylko trzeba jeszcze całość jakoś uporządkować i dobrze zapisać.



Wiadomość była modyfikowana 2020-09-25 17:23:20 przez naviera

naviera
postów: 6
2020-09-25 17:42:36

Znalazłam następującą zależność:

$n=N-4-3*k, k=0,1,2,3...$,
$n=N-5-3*k, k=0,1,2,3...$,
$n=N-6-3*k, k=0,1,2,3...$,
$n=N-7-3*k, k=0,1,2,3...$,

dla odpowiednich wzorów od 1 do 4.

Całość by wyglądała tak:

$a_n=\left\{\begin{matrix} 4N^{3}+(N-4)N^{2}+N(16(N-4-3*(k-1))^3-28(N-4-3*(k-1))^2+10(N-4-3*(k-1))+3)-1, N=4k+1\\
4N^{3}+(N-4)N^{2}+N(16(N-5-3*(k-1))^3-16(N-5-3*(k-1))^2-(N-5-3*(k-1))+4)-1, N=4k+2 \\
4N^{3}+(N-4)N^{2}+N(16(N-6-3*(k-1))^3-4(N-6-3*(k-1))^2-6(N-6-3*(k-1))+3)-1, N=4k+3 \\
4N^{3}+(N-4)N^{2}+N(16(N-7-3*(k-1))^3+8(N-7-3*(k-1))^2-5(N-7-3*(k-1))+2)-(2(N-7-3*(k-1))+3), N=4(k+1) \end{matrix}\right.$

Wygląda to źle, ale działa. Może ktoś da radę to uprościć?

Wiadomość była modyfikowana 2020-09-25 18:11:54 przez naviera
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj