Przedziały monotoniczności funkcji

Autor	Wiadomość
maricies postów: 2	2013-02-25 19:19:43 czytam podręczniki do liceum i cóż widzę? W "Kiełbasie" funkcje są rosnące i malejące w przedziałach OTWARTYCH ZAWSZE, a w innych np. "Kurczab, Kłaczkow" różnie, zależy... Moim zdaniem "Kiełbasa" ma rację. To się kupy trzyma z badaniem przebiegu funkcji, pochodnymi a nawet zdrowym rozsądkiem. Jak np. funkcja xkwadrat może być rosnąca od zera-domknięte i malejąca do zera-domknięte? To w końcu w zerze jest i rosnąca i malejąca? To mi wieje grozą. Sprawdziłam kilka podręczników i piszą różnie. Czy ktoś mi wyjaśni jak to jest na prawdę?

naimad21 postów: 380	2013-02-25 19:29:37 Jeśli chodzi o maturę, to w kluczu sprawdzający mają przedziały domknięte, co jest niestety większości zdaniem nieprawdą. Funkcja moim zdaniem nie może być w punkcie i rosnąca i malejąca, dla tych pogranicznych wartości są przypisane ekstrema, dla których pierwsza pochodna = 0, a dla pierwszej pochodnej = 0 funkcja jest stała, aczkolwiek funkcja nie może być stała w punkcie, dlatego chyba takie są zbieżności ;) Jeśli czeka Cie matura, to pisz lepiej domknięte jeśli nie chcesz stracić punktów, albo otwarte i komentarz dla 0 funkcja ma ekstremum, a na studiach to zależy już jak Cie nauczy wykładowca ;)

tumor postów: 8070	2013-02-25 20:01:12 naimad21, nie myl ludzi. Monotoniczność sprawdza się na dowolnym zbiorze. Można wybrać zbiór fikuśny i powiedzieć, czy gdyby dziedzinę obciąć do tego zbioru, funkcja byłaby monotoniczna. W liceum rozważamy przedziały, bo to po pierwsze sensowne, po drugie łatwe. ;) Jeśli funkcja spełnia warunek monotoniczności w przedziale domkniętym, to taki właśnie przedział należy napisać. Zapewne pokręciłeś, naimad21, monotoniczność z pochodnymi. Różniczkowalność dostajemy w przedziale otwartym, bo do granicy (obustronnej) potrzebujemy (obustronnego) otoczenia x, w którym sprawdzamy różniczkowalność (choć istnieje też pochodna jednostronna w punkcie). Zatem sprawdzając monotoniczność dla funkcji różniczkowalnej w przedziale otwartym wziąłeś przedział otwarty, w którym na przykład pochodna jest dodatnia, by napisać, że tam funkcja jest rosnąca. Twierdzeniem, że dla 0 funkcja ma ekstremum, powinieneś momentalnie oblać całe studia. Typowym przykładem jest $x^3$ z pochodną w $x=0$ równą $0$, jest SILNIE ROSNĄCA w R (jak i w każdym - także domkniętym - podzbiorze R).

naimad21 postów: 380	2013-02-25 20:40:41 Całe szczęście jeszcze nie studiuje ;) ale faktycznie jest to jeden z warunków dla których funkcja może mieć ekstremum. Tak się składa, że ostatnio mieliśmy ten sam problem na lekcji, trochę poczytałem na ten temat i okazuje się, że do dzisiaj nie ma decyzji na ten temat, tak samo jest z zerem, kwestią umowy jest czy zero należy do zbioru liczb naturalnych czy nie. Jeśli w treści zadania pojawi się podaj "maksymalne przedziały monotoniczności" to trzeba pisać z domkniętymi. W 2011 roku na maturze w kluczu było napisane: "Uwagi 1. Zdający może zapisać przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca, w postaci $-2\le x\le 2$ lub $x\in<2,2>$ , lub $x\in<-2,2)$, lub $x\in(-2,2>$ , lub $x\in(-2,2)$ . 2. Zdający może zapisać zbiór wartości funkcji f, w postaci -$2\le y\le3$ lub $x\in<-2,3>$ . 3. Zdający może zapisać przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca, w postaci $<-2,0>\cup <0,2> .$ 4. Nie akceptujemy, jeżeli zdający zapisze przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca, w postaci ${-2,2}$." Podaje link do klucza http://bip.cke.edu.pl/bip_download.php?id=2274 (patrz zadanie 26 str. 11) A jeśli tumor chodzi o mylenie, to akurat cytuje niemalże słowo w słowo nauczyciela, sam sobie tego nie wymyśliłem, a jeśli jest to błędne rozumowanie to już tylko zostaje mi przeprosić za nauczyciela ;)

tumor postów: 8070	2013-02-25 22:32:51 Ja nie rozważam psychologii nauczycieli, twórców klucza, dydaktyków. Gdy rozważam, to klnę, dlatego się wstrzymuję. Przedział otwarty jest tej samej długości do przedział otwarty jednostronnie czy domknięty obustronnie. To ta sama maksymalna długość. Największy w sensie inkluzji zbiór spójny byłby przedziałem domkniętym, ale to już pojęcia wykraczające poza liceum. Nie jest kwestią niczyjej decyzji, jeśli warunek monotoniczności spełniony jest w przedziale domkniętym. Konkretne zastosowania mogą wymagać rozważania końców albo pozwalać na ich ignorowanie, tak powstają zwyczaje różnych matematyków, by tak pisać, a nie inaczej. Zaliczenie 0 do liczb naturalnych jest kwestią decyzji, ale podyktowanej zastosowaniami. W algorytmice raczej zaliczymy. W teorii mnogości raczej zaliczymy. W algebrze często nie zaliczymy. W analizie dość często nie zaliczymy. Natomiast nie sposób "stwierdzić" na podstawie definicji (np. aksjomatów Peano) czy 0 należy do liczb naturalnych czy nie, bo model z 0 jest równie dobry jak model bez 0. Można jednak stwierdzić, czy w przedziale domkniętym funkcja jest rosnąca. $sinx$ jest rosnący w $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] $bo tak wynika z przyjmowanych definicji, to stwierdzalne. Ktoś może woleć otrzymać w odpowiedzi przedział otwarty, ale odpowiedź na pytanie, czy funkcja w tym przedziale rośnie, musi być twierdząca.

maricies postów: 2	2013-02-27 15:18:49 Dziękuję za liczne odpowiedzi. Ja dalej nie mam pewności. Może trzeba by się popytać jakichś autorytetów? Ale kogo, skoro nawet podręczniki się w tym różnią? Rozmawiałam ze studentem AGH i ich uczą, że przedziały monotoniczności funkcji MUSZĄ być otwarte. Co innego ciągi, tam piszemy od pierwszej kropki do ostatniej kropki, ale to zupełnie inne zagadnienie. Inaczej z przedziałami, gdzie funkcja przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne -te przedziały jak najbardziej mogą być domknięte, w zależności od sytuacji. Przykład z x^2 to tylko przykład jakiejkolwiek funkcji.Ja widzę to tak: jeśli stoisz na starcie Maratonu to stoisz, a biec zaczniesz jak ruszysz nogą, jeśli wlazłeś na Rysy to jesteś na szczycie,twoja wysokość nie wzrasta, ani nie maleje, stoisz , kontemplujesz widoki i masz satysfakcję. Z matematyką jak z życiem, nie? naimad21 - z Tobą się zgadzam, kryteria matur są jakie są, bo inaczej nikt by nie zdał,skoro jedni uczą tak, a drudzy siak. a swoją droga ciekawe, że nikt tego dotąd nie poruszył. Pozdrawiam wszystkich z umiarkowanym optymizmem...

zorro postów: 106	2013-03-07 08:47:37 Monotoniczności nie badamy w punkcie, tylko w przedziale. Pochodna zaś jest tylko narzędziem badania nie będąc sama "równoważna monotoniczności". Dobrym przykładem jest też f(x)=\|x\|. W zerze pochodna nie istnieje a funkcja jest rosnąca w przedziale $<0,+\infty)$ Dla jakichkolwiek $x_{1}, x_{2}$ z tego przedziału mamy $x_{2}>x_{1}\Rightarrow f(x_{2})>f(x_{1})$ W szczególności $x_{1}$ może być zerem! Dla monotoniczności nie ma błędu gdy przedział będzie zamknięty. Błędem jest tylko zupełne pominięcie punktu w rozważaniach. Kiedy ja pisałem maturę przedziały robiliśmy otwarte, a ekstrema wyróżnialiśmy w tabelce osobno. Spotkałem się jednak z innym zapisem tabelki, gdzie punkty ekstremum nie były w osobnych rubryczkach lecz należały do przedziałów monotoniczności. Wówczas zamykano przedziały jednostronnie. Kwestia wyboru oraz zagadnienia. Przykład $y=x^{3}$ też wiele tutaj mówi. Wiadomość była modyfikowana 2013-03-07 09:16:48 przez zorro

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj