Inne, zadanie nr 324

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
majkowa postów: 1	2012-01-13 14:24:19 pochodne :) Treść zadania: Oblicz f'(x) i f"(x) dla następujących funkcji. Rozwiązać równania f'(x)=0, f"(x)=0 oraz nierówności f'(x)>0 i f"(x)=0; potrzebuje mieć rozwiązane 3 przykłady, których zadanie będzie się opierało na poniższych podpunktach: 1) wyznaczenie dziedziny 2) asymptoty i granicę 3) sprawdzanie jak się zachowuje funkcja w -(nieskończoność) 4) monotoniczność i eksterium funkcji zmiennej (liczymy pierwszą pochodną i ją badamy) 5) badamy i liczymy f"(x)=(f'(x))' pochodną z pierwszej pochodnej A)$f(x)=x^4-2x^2$ B)$f(x)=\frac{x^2}{3-x}$ C)$f(x)=x^3-x^2$ D) $f(x)=xex^{2}x^{2}-x$ E)$f(x)=\frac{e^x}{x}$ f)$f(x)=\frac{x^2+1}{x^2}$ G$)f(x)=x^{2}lnx$ H)$f(x)=\sqrt{4-x^2}$ Z góry dziekuje :) Wiadomość była modyfikowana 2012-01-13 14:50:33 przez Szymon

tumor postów: 8070	2012-10-02 08:50:41 A)$f(x)=x^4-2x^2$ Dziedziną jest $R$ $f`(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)$ $f`(x)=0$ w $x_1=-1$ $x_2=0$ $x_3=1$ Pochodna jest dodatnia (czyli $f$ jest rosnąca) w przedziałach $(-1,0)$ $(1,\infty)$ Pochodna jest ujemna (czyli $f$ jest malejąca) w przedziałach $(-\infty,-1)$ $(0,1)$ W $x_1$ minimum równe $-2$ w $x_2$ maksimum równe $0$ w $x_3$ minimum równe $-2$ Brak asymptot pionowych. Liczymy $\lim_{x \to \pm \infty}(x^4-2x^2)=\lim_{x \to \pm \infty}x^4(1-\frac{2}{x^2})=\infty$ $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{x^4-2x^2}{x}=\lim_{x \to \pm \infty}x^3(1-\frac{2}{x^2})=\pm \infty$ Brak asymptot ukośnych. $f``(x)=12x^2-4$ $f``(x)=0$ dla $x_4=\frac{-\sqrt{3}}{3}$ $x_5=\frac{\sqrt{3}}{3}$ W przedziale $(-\infty,x_4)$ mamy $f``(x)>0$, czyli $f(x)$ wypukła. W przedziale $(x_4,x_5)$ mamy $f``(x)<0$, czyli $f(x)$ wklęsła. W przedziale ($x_5,\infty)$ mamy $f``(x)>0$, czyli $f(x)$ wypukła. $x_4,x_5$ są punktami przegięcia.

tumor postów: 8070	2012-10-02 08:51:03 B)$f(x)=\frac{x^2}{3-x}$ Dziedzina $R\backslash \{3\}$ $\lim_{(x \to 3^-)}f(x)=[\frac{9}{0^+}]=\infty$ $\lim_{(x \to 3^+)}f(x)=[\frac{9}{0^-}]=-\infty$ Asymptota pionowa $x=3$. $\lim_{(x \to -\infty)}f(x)=\lim_{(x \to -\infty)}\frac{xx}{x(\frac{3}{x}-1)}=\infty$ $\lim_{(x \to \infty)}f(x)=\lim_{(x \to \infty)}\frac{xx}{x(\frac{3}{x}-1)}=-\infty$ $\lim_{(x \to \pm\infty)}\frac{f(x)}{x}=\lim_{(x \to \pm\infty)}\frac{-x^2}{x^2-3x}=-1$ $\lim_{(x \to -\infty)}(f(x)-(-1x))=\lim_{(x \to -\infty)}(\frac{x^2}{3-x}+\frac{3x-x^2}{3-x})=\lim_{(x \to -\infty)}(\frac{3x}{3-x})=-3$ $\lim_{(x \to \infty)}(f(x)-(-1x))=-3$ Obustronna asymptota ukośna $y=-x-3$ $f`(x)=\frac{2x(3-x)+x^2}{(3-x)^2}=\frac{6x-x^2}{(3-x)^2}$ $f`(x)=0$ w $x_1=0$ $x_2=6$ W $(-\infty,0)$ pochodna ujemna, zatem $f(x)$ malejąca. W $(0,3)$ pochodna dodatnia, zatem $f(x)$ rosnąca. W $(3,6)$ pochodna dodatnia, zatem $f(x)$ rosnąca. W $(6,\infty)$ pochodna ujemna, zatem $f(x)$ malejąca. W $x_1$ minimum lokalne równe $0$. W $x_2$ maksimum lokalne równe $-12$. $f``(x)=\frac{(-2x+6)(3-x)^2-2(3-x)(-1)(6x-x^2)}{(3-x)^4}= \frac{(-2x+6)(3-x)+2(6x-x^2)}{(3-x)^3}= \frac{18}{(3-x)^3}$ $f``(x)$ w przedziale $(-\infty,3)$ dodatnia, czyli $f(x)$ wypukła. $f``(x)$ w przedziale $(3,\infty)$ ujemna, czyli $f(x)$ wklęsła. Brak punktów przegięcia.

tumor postów: 8070	2012-10-02 09:25:32 C)$f(x)=x^3-x^2$ Dziedzina $R$ $f`(x)=3x^2-2x=x(3x-2)$ $f``(x)=6x-2=2(3x-1)$ $f`(x)=0$ w $x_1=0$ $x_2=\frac{2}{3}$ w $(-\infty,0)$ pochodna dodatnia, $f(x)$ rosnąca w $(0,\frac{2}{3})$ pochodna ujemna, $f(x)$ malejąca w $(\frac{2}{3},\infty)$ pochodna dodatnia, $f(x)$ rosnąca w $x_1$ maksimum równe $0$ w $x_2$ minimum równe $\frac{-4}{27}$ $f``(x)=0$ w $x_3=\frac{1}{3}$ w $(-\infty,\frac{1}{3})$ druga pochodna ujemna, $f(x)$ wklęsła w $(\frac{1}{3},\infty)$ druga pochodna dodatnia, $f(x)$ wypukła w $x_3$ punkt przegięcia Brak asymptot pionowych. $\lim_{x \to \pm\infty}f(x)=\pm\infty$ $\lim_{x \to \pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\infty$ Brak asymptot ukośnych.

tumor postów: 8070	2012-10-02 09:25:47 F) $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2}$ Dziedzina $R\backslash\{0\}$ $f`(x)=\frac{2x^3-2x^3-2x}{x^4}=\frac{-2}{x^3}\neq 0$ $f``(x)=6x^{-4}>0$ W przedziale $(-\infty,0)$ obie pochodne dodatnie, $f(x)$ rosnąca i wypukła. W przedziale $(0,\infty)$ pierwsza pochodna ujemna, druga dodatnia, czyli $ f(x)$ malejąca i wypukła. $\lim_{x \to 0}f(x)=[\frac{1}{0^+}]=\infty$ $\lim_{x \to \pm\infty}f(x)=1$ $\lim_{x \to \pm\infty}\frac{f(x)}{x}=0$ Asymptota pionowa $x=0$, asymptota ukośna (pozioma) $y=1$. Brak ekstremów lokalnych, brak punktów przegięcia.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj