Algebra, zadanie nr 5928

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2019-01-09 17:11:20 Czy dany element jest odwracalny w danym pierscieniu. Jesli tak, to znalezc element odwrotny. a) $\begin{bmatrix} 1&2\\2&1\end{bmatrix}$ w $M_{2}(Z_{4})$ b) $\begin{bmatrix} 1&2\\2&1\end{bmatrix}$ w $M_{2}(Z)$ c) $105$ w $Z_{351}$ d) $327$ w $Z_{2018}$ e) $2017$ w $Z_{2018}$ Element jest odwracalny w pierscieniu $A$, gdy istnieja takie $a, b\in A$ ,ze $ab=ba=1$ ($=$ elementowi neutralnemu mnozenia w $A$; dla macierzy bedzie to macierz jednostkowa). Dla macierzy mozna obliczyc jej wyznacznik. a) $det(\begin{bmatrix} 1&2\\2&1\end{bmatrix})=r_{4}(1\cdot _{4}1-2\cdot _{4}2)=r_{4}(1-0)=r_{4}(1)=1\neq 0$, zatem istnieje element odwracalny (czyli macierz odwrotna do danej), ktora jest dana wzorem $\frac{1}{det(\begin{bmatrix} 1&2\\2&1\end{bmatrix})}\begin{bmatrix} 1&2^{-1}\\2^{-1}&1\end{bmatrix}$, gdzie $2^{-1}$ to element odwrotny do $2$, czyli w $Z_4$ elementem odwrotnym do $2$ jest $(4-2)=2$. Czyli $\begin{bmatrix} 1&2\\2&1\end{bmatrix}$. b) $det(\begin{bmatrix} 1&2\\2&1\end{bmatrix})=1-4=-3\neq 0$, ale macierz odwrotna bylaby ze wspolczynnikiem $-\frac{1}{3}$ tylko $-\frac{1}{3}\notin Z$. Zatem macierz ta nie jest elementem odwracalnym w pierscieniu $Z$. Gdyby to byl zbior $Q$ lub $R$ to macierz ta bylaby wtedy odwracalna. Dobrze to rozumiem?

tumor postów: 8070	2019-01-09 22:23:30

geometria postów: 865	2019-01-10 12:08:08 b) W tw. Cauchy'ego o wyznaczniku iloczynu zachodzi wzor $det(A\cdot B)=det(A)\cdot det(B)$. $A=\begin{bmatrix} 1&2\\2&1\end{bmatrix}$; $det(A)=-3$ Jaka jest macierz $B$? ----------------------------------------------------- Czy mozna uzasadnic rowniez tak, ze $det(A)=-3$, ale liczba $-3$ nie jest elementem odwracalnym w pierscieniu $Z$, wiec nie ma elementu odwrotnego. Zatem macierz $A=\begin{bmatrix} 1&2\\2&1\end{bmatrix}$ nie jest odwracalna? Wiadomość była modyfikowana 2019-01-10 14:56:19 przez geometria

geometria postów: 865	2019-01-10 13:29:26 Wiadomość była modyfikowana 2019-01-10 14:54:33 przez geometria

geometria postów: 865	2019-01-10 15:30:51 b') $C=\begin{bmatrix} 1&1\\1&4\end{bmatrix}$ w $M_{2}(Z_{8})$ 1. Obliczam wyznacznik macierzy $C$. $det(C)=r_{8}(1\cdot _{8}4-1\cdot _{8}1)=r_{8}(4-1)=r_{8}(3)=3$ $3$ jest elementem odwracalnym w pierscieniu $Z_{8}$, czyli ma element odwrotny. 2. Obliczam wyznacznik odwrotny, czyli $(det(C))^{-1}$. Element odwrotny do $3$ to tez $3$, bo $3\cdot _{8}3=r_{8}(9)=1$. Czyli $(det(C))^{-1}=3^{-1}=3$. 3. Obliczam macierz odwrotna ze wzoru $\begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=(det\begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix})^{-1}\begin{bmatrix} d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$, gdzie $-b$, $-c$ to elementy przeciwne do elementow $b$ i $c$ odpowiednio. Czyli elementem przeciwnym do $1$ w pierscieniu $Z_{8}$ jest $7$, bo $(8-1)=7$. $C^{-1}=3\begin{bmatrix} 4&7\\7&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} r_{8}(12)&r_{8}(21)\\r_{8}(21)&r_{8}(3)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4&5\\5&3\end{bmatrix}$. Czy dobrze?

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj