logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Matematyka dyskretna, zadanie nr 6121

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

hugenota
postów: 1
2020-01-05 14:49:01

Na wstępie chciałbym powitać forum

Mam problem z jednym z podpunktów bardziej złożonego zadania.

Zadanie: Udowodnij że wzór $C(k)=\frac{1}{6}(k^{6}+2k^{2}+3k^{4} $dla każdego k będącego liczbą naturalną wzór C(k) przyjmuje wartości całkowite.
Zadanie można wykonać metodą indukcji matematycznej lub metodą reszt. Niestety żadną metodą nie znalazłem dowodu.

Moje wypociny:
$6 | k^{6}+2k^{2}+3k^{4}$

Sprawdzenie:
$1^{6}+2*1^{2}+3*1^{4} = 6$

Założenia:
$k^{6}+2k^{2}+3k^{4} = 6L$ gdzie L jest liczba całkowitą

Teza:

$(k+1)^{6}+2(k+1)^{2}+3(k+1)^{4} = 6L1 $ gdzie L1 jest liczba całkowitą

$(k+1)^{6}+6(\frac{1}{3}(k+1)^{2}+\frac{1}{2}(k+1)^{4})$

I w tym momencie nie wiem co dalej, jak to pomnożę to wychodzi takie coś

$k^{6}+6k^{5}+18k^{4}+32k^{3}+35k^{2}+22k+6$

Z góry dziękuje za odpowiedź udowadnianie nie jest moją mocną stroną


Szymon
postów: 657
2020-01-05 21:45:10

$k^6+3k^4+2k^2=k^2(k^4+3k^2+2)=k^2[(k+1)(k+2)]^2=[k(k+1)(k+2)]^2$.
Wyrażenie k(k+1)(k+2) jest iloczynem kolejnych trzech liczb całkowitych, zatem conajmniej jedna z liczb $k, k+1, k+2$ jest liczbą parzystą oraz dokładnie jedna jest podzielna przez 3. Zatem ich iloczyn jest liczbą podzielną przez 6.
Myślę że dalej to już wiadomo jak skończyć

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj