Matematyka dyskretna, zadanie nr 6121
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
hugenota postów: 1 | 2020-01-05 14:49:01 Na wstępie chciałbym powitać forum Mam problem z jednym z podpunktów bardziej złożonego zadania. Zadanie: Udowodnij że wzór $C(k)=\frac{1}{6}(k^{6}+2k^{2}+3k^{4} $dla każdego k będącego liczbą naturalną wzór C(k) przyjmuje wartości całkowite. Zadanie można wykonać metodą indukcji matematycznej lub metodą reszt. Niestety żadną metodą nie znalazłem dowodu. Moje wypociny: $6 | k^{6}+2k^{2}+3k^{4}$ Sprawdzenie: $1^{6}+2*1^{2}+3*1^{4} = 6$ Założenia: $k^{6}+2k^{2}+3k^{4} = 6L$ gdzie L jest liczba całkowitą Teza: $(k+1)^{6}+2(k+1)^{2}+3(k+1)^{4} = 6L1 $ gdzie L1 jest liczba całkowitą $(k+1)^{6}+6(\frac{1}{3}(k+1)^{2}+\frac{1}{2}(k+1)^{4})$ I w tym momencie nie wiem co dalej, jak to pomnożę to wychodzi takie coś $k^{6}+6k^{5}+18k^{4}+32k^{3}+35k^{2}+22k+6$ Z góry dziękuje za odpowiedź udowadnianie nie jest moją mocną stroną |
Szymon postów: 657 | 2020-01-05 21:45:10 $k^6+3k^4+2k^2=k^2(k^4+3k^2+2)=k^2[(k+1)(k+2)]^2=[k(k+1)(k+2)]^2$. Wyrażenie k(k+1)(k+2) jest iloczynem kolejnych trzech liczb całkowitych, zatem conajmniej jedna z liczb $k, k+1, k+2$ jest liczbą parzystą oraz dokładnie jedna jest podzielna przez 3. Zatem ich iloczyn jest liczbą podzielną przez 6. Myślę że dalej to już wiadomo jak skończyć |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj