logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 6194

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

bananek
postów: 5
2020-04-22 13:49:47

Witam, mam problem z takim zadaniem. Z góry dziękuję za pomoc, prosiłbym również o krótkie komentarze do zadania, aby ułatwić mi jego zrozumienie oraz tok postępowania

Znaleźć rozwiązanie ogólne równania i rozwiązanie szczególne przechodzące przez krzywą:


$yu_{x} + xu_{y} = 0 $

Warunki początkowe:

$(x_{0}(t),y_{0}(t),u_{0}(t)) = (o,t,t^{2})$


chiacynt
postów: 749
2020-04-23 07:03:38

$ yu_{x} + xu_{y} = 0 \ \ (1) $

$ (x_{0}(t), y_{0}(t),u_{0}(t))= (0,t, t^{2}) \ \ (2)$

Jest to równanie różniczkowe cząstkowe liniowe pierwszego rzędu.

Metoda charakterystyk

Równanie różniczkowe zwyczajne (równanie charakterystyk), odpowiadające równaniu $ (1)$

$ \frac{dx}{y} = \frac{dy}{dx} $

Rozdzielamy zmienne

$ xdx = y dy $

Całkujemy obustronnie

$ \int xdx = \int ydy $

$ \frac{x^{2}}{2} = \frac{y^{2}}{2} + \frac{C}{2} $

$ x^2 - y^2 = C $

Rozwiązanie ogólne równania (całka ogólna) ma postać

$ u(x,y) = \phi(x^2 -y^2) $

$ \phi $ jest dowolną funkcją klasy $ C^{1}$.

Zbiór rozwiązań tego równania przedstawia wszystkie regularne powierzchnie hiperboliczne w przestrzeni $ Oxyu. $







strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj