Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 6240

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
aneta30 postów: 22	2020-05-06 15:30:35 Bardzo proszę o pomoc Polecenie: Rozwiązać równianie: y'' - 2y' + 2y = (e^x)/cos(x)

chiacynt postów: 749	2020-05-07 13:35:04 $ y^{''}- 2y^{'} +2y = \frac{e^{x}}{\cos(x)} \ \ (0)$ Rozwiązanie ogólne (całka ogólna) równania jednorodnego $ y^{''} - 2y^{''} +2y = 0 $ Równanie charakterystyczne $ r^2 -2r +2 = 0 $ $ \Delta = -4 $ $ r_{1} = \frac{2 -2i}{2}= 1 - i $ $ r_{2} = \frac{2 +2i}{2}= 1 + i $ $ y_{o} = C_{1}e^{x}\cos(x) + C_{2}e^{x}\sin(x)$ Metoda uzmiennienia stałych Rozwiązanie ogólne (całka ogólna) równania niejednorodnego $ y = C_{1}(x)e^{x}\cos(x) + C_{2}(x)e^{x}\sin(x)\ \ (1)$ Funkcje $ C_{1}(x), C_{2}(x) $ znajdujemy, rozwiązując układ podstawowy (bazowy) równań: $ \begin{cases} C'_{1}(x)e^{x}\cos(x)+ C'_{2}(x)e^{x}\sin(x)= 0 \\ C'_{1}(x)[e^{x}\cos(x)-e^{x}\sin(x)] +C'_{2}(x)[e^{x}\sin(x) + e^{x}\cos(x)] = \frac{e^{x}}{\cos(x)}\end{cases} $ $\begin{cases} e^{x}[C'_{1}(x)\cos(x) +C'_{2}(x)\sin(x)] = 0\\ e^{x}[(C'_{1}(x)+C'_{2}(x))\cos(x) - (C'_{1}(x)-C'_{2}(x))\sin(x)] = \frac{e^{x}}{\cos(x)} \end{cases} $ Z równania pierwszego układu wyznaczamy $ C'_{1}(x) = - \frac{C'_{2}\sin(x)}{\cos(x)} \ \ (2) $ i podstawiamy do równania drugiego $e^{x}\left[\left(-\frac{C'_{2}\sin(x)}{\cos(x)}+ C'_{2}(x)\right)\cos(x)- \left(-\frac{C'_{2}\sin(x)}{\cos(x)} -C'_{2}(x)\right)\sin(x)\right] = \frac{e^{x}}{\cos(x)} $ $e^{x}[-C'_{2}(x)\sin(x) + C'_{2}(x)\cos(x)] - \left[ -\frac{C'_{2}(x)\sin^{2}(x)}{\cos(x)} - C'_{2}(x)\sin(x)\right] = \frac{e^{x}}{\cos(x)} $ $ e^{x}[-C'_{2}(x)\sin(x) +C'_{2}(x)\cos(x)+ C'_{2}(x)\frac{\sin^2(x)}{\cos(x)} + C'_{2}(x)\sin(x)] = \frac{e^{x}}{\cos(x)} $ $ e^{x}[C'_{2}(x)\cos(x)+C'_{2}(x)\frac{\sin^2(x)}{\cos(x)}] = \frac{e^{x}}{\cos(x)} $ $e^{x}\frac{C'_{2}\cos^2(x)+C'_{2}\sin^2(x)}{\cos(x)}= \frac{e^{x}}{\cos(x)}$ $ C'_{2}(x)[\cos^2(x) + \sin^2(x)] = 1 $ $ C'_{2}(x)= 1 \ \ (3) $ $ C_{2}(x) = \int 1 dx = x + A \ \ (4) $ Podstawiamy $ (3) $ do $ (2) $ $ C'_{1}(x) = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} $ $ C_{1}(x) = \int -\frac{\sin(x)}{\cos(x)}dx = ln(\cos(x))+ B \ \ (5) $ Podstawiamy funkcje $ (4), \ \ (5)$ do $ (1)$, otrzymując rozwiązanie ogólne równania $ (0)$ $ y = (x+ A)e^{x}\cos(x) + (\ln(\cos(x)) + B )e^{x}\sin(x)$ $ y = A e^{x}\cos(x) + Be^{x}\sin(x) + e^{x}x\cos(x) + e^{x}\ln(\cos(x))\sin(x) \ \ (6) $ Suma pierwszych dwóch składników $ (6)$, to rozwiązanie ogólne równania różniczkowego jednorodnego, zaś suma składników trzeciego i czwartego to rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego. Proszę sprawdzić poprawność rozwiązania $(6)$ przez obliczenie pochodnych pierwszego i drugiego rzędu i podstawienie do równania $ (0) $.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj