Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 6269
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| aple32 postów: 8 |  2020-05-16 15:59:10Obliczyć całkę (przez części?): $\int_{}^{}e^{6t}*cos2t$ Próbowałam całkę zrobić kilka razy przez części ale nic nie wychodzi, nie jestem w stanie dojść do końca, mogę prosić o rozwiązanie/ wskazówki? |
| chiacynt postów: 749 | 2020-05-16 16:50:08 $ \int e^{6t}\cos(2t)dt = \int \left(\frac{1}{6}e^{6t}\right)'\cos(2t)dt = \frac{1}{6}e^{6t}\cos(2t) + 2\int\frac{1}{6}e^{6t}\sin(2t)dt $ Ostatnią całkę obliczamy metodą całkowania przez części $= \frac{1}{6}e^{6t}\cos(2t) + \frac{2}{6}\int\left(\frac{1}{6}e^{6t}\right)'\sin(2t)dt =\frac{1}{6}e^{6t}\cos(2t)+ \frac{1}{18}e^{6t}\sin(2t) -\frac{2}{18}\int e^{6t}\cos(2t)dt + A $ Otrzymaliśmy ten sam typ całki, którą przenosimy na lewą stronę równania, otrzymując $ \frac{10}{9}\int e^{6t}\cos(2t)dt = \frac{1}{6}e^{6t}\cos(2t) + \frac{1}{18}e^{6t}\sin(2t) + A \ \ (*) $ Mnożymy stronami równanie (*) przez $ \frac{9}{10} $ $ \int e^{6t}\cos(2t)dt = \frac{9}{60}e^{6t}\cos(2t)+ \frac{9}{180}e^{6t}\sin(2t) + C $ $ \int e^{6t}\cos(2t)dt = \frac{3}{20}e^{6t}\cos(2t)+ \frac{1}{20}e^{6t}\sin(2t) + C $ Sprawdzenie poprawności otrzymanego wyniku $[\frac{3}{20}e^{6t}\cos(2t)+ \frac{1}{20}e^{6t}\sin(2t) + C]' = \frac{18}{20}e^{6t}\cos(2t)-\frac{6}{20}e^{6t}\sin(2t) +\frac{6}{20}e^{6t}\sin(2t) + \frac{2}{20}e^{6t}\cos(2t) +0 = e^{6t}\cos(2t). $ Co mieliśmy sprawdzić. |
| aple32 postów: 8 | 2020-05-16 19:29:06 Dziękuję za pomoc  |
| aple32 postów: 8 | 2020-05-17 14:05:03 Mam jeszcze pytanie czym jest A w całce? I skąd to lewe równanie a w nim $\frac{10}{9}$? |
| chiacynt postów: 749 | 2020-05-17 15:38:00 $ A, C $ - są to dowolne stałe Po przeniesieniu całki $ -\frac{2}{18}\int e^{6x}\cos(2x)dx = -\frac{1}{9}\int e^{6x}\cos(2x)dx $ na lewą stronę- po lewej stronie równania otrzymujemy sumę całek $ \int e^{6x}\cos(2x)dx + \frac{1}{9}\int e^{6x}\cos(2x)dx = \frac{9}{9}\int e^{6x}\cos(2x)dx + \frac{1}{9}\int e^{6x}\cos(2x)dx = \frac{10}{9}\int e^{6x}\cos(2x)dx. $ |
| aple32 postów: 8 | 2020-05-17 16:17:46 Super! jeszcze raz bardzo dziękuję |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj