Probabilistyka, zadanie nr 6302

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
lovegood postów: 7	2020-05-24 12:50:44 Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadań (metoda funkcji charakterystycznych) 1. Jeżeli $ X_i, i= 1, 2, \ldots, n $ są zmiennymi niezależnymi o rozkładzie Poissona z intensywnością $ \lambda $ to rozkład zmiennej losowej $ Y_n = X_1 + \ldots + X_n $ jest rozkładem Poissona o intensywności $ \lambda $. 2. Zakładamy, że $ X_i, i= 1, 2, \ldots, n $ mają rozkład normalny $ \mathcal{N}(0,1) $ i stanowią próbę prostą. Wykorzystując metodę funkcji charakterystycznych pokaż, że $ \mathcal{X}^2 = X_1^2 + \ldots + X_n^2 $ ma rozkład typu gamma postaci $ f_{\frac{n}{2}, \frac{1}{2}} $.

chiacynt postów: 749	2020-05-24 14:40:14 Zadanie 1 Z twierdzenia o własnościach funkcji charakterystycznych " Jeżeli zmienne losowe $ X_{i}, \ \ i=1,2,...n $ są niezależne i $ Y_{n}= X_{1}+X_{2}+...+X_{n},to $ $ \phi_{Y_{n}}(t) = \phi_{X_{1}}(t)\cdot \phi_{X_{2}}(t) \cdot ..., \cdot \phi_{X_{n}}(t) \ \ (1) $ Proszę udowodnić to twierdzenie (dowód wynika wprost z definicji funkcji charakterystycznej). Obliczamy funkcje charakterystyczną pojedynczej zmiennej losowej o rozkładzie Poissona $ \pi_{i}(\lambda)$ i korzystamy z powyższego twierdzenia $\phi_{X_{i}}(t)=\sum_{k=0}^{\infty} e^{itk}\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}= e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\lambda e^{it})^{k}}{k!} = e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda e^{it}}= e^{\lambda(e^{it}-1)} \ \ (2) $ Podstawiamy $ (2) $ do $ (1) $ dla $ i =1,2,,...,n $ $\phi_{Y}(t) = e^{\lambda(e^{it}-1)}\cdot e^{\lambda (e^{it} -1)} \cdot ...\cdot e^{\lambda(e^{it}-1)} = e^{n\lambda(e^{it}-1)} $ Suma zmiennych losowych niezależnych i o rozkładzie Poissona z intensywnością $ \lambda $ jest rozkładem Poissona o intensywności $ n\cdot \lambda. $ Co mieliśmy wykazać.

lovegood postów: 7	2020-05-26 20:24:16 Dziękuję bardzo za rozwiązanie pierwszego zadania. Teraz próbuję rozwiązać drugie i utknęłam się w jednym miejscu. Skoro $ X_i$ mają rozkład normalny, wtedy funkcja charakterystyczna sumy zmiennych jest równa $ \varphi_{X_1+\ldots + X_n}(t) = e^{-\frac{n}{2}t^2} $. Ale w tym chi-kwadracie każda zmienna jest podniesiona do kwadratu i nie ma takiej własności, żeby liczyć funkcję charakterystyczną zmiennej do kwadratu. I zauważyłam, że jak podstawię $\frac{n}{2},\frac{1}{2}$ do wzoru funkcji charakterystycznej gamma to wychodzi funkcja charakterystyczna rozkładu chi-kwadrat. I nie wiem, czy jak tak to po prostu mogę rozwiązać, czy trzeba jednak coś zrobić z tym założeniem, że zmienne mają rozkład normalny.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj