logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 6358

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

wachuratb
postów: 2
2020-06-05 10:32:17

Witam, mam problem z nastepujacym zadaniem.

3. Wyznacz wzór analityczny pozwalający wyliczyć n-ty wyraz ciągu określonego rekurencyjnie:$ a_{0} = 0, a_{1} = 1, a_{n} = 3a_{n-1} - 2a_{n-2}$.
Doszedlem do wniosku, ze wzor rekurencyjny mozna uproscic na
$a_{n} = 2a_{n-1} + 1$ jednakze nie wiem jak dojsc do wzoru ogolnego

Uprzejmie prosze o pomoc.


Wiadomość była modyfikowana 2020-06-05 11:19:08 przez wachuratb

chiacynt
postów: 749
2020-06-05 10:39:55

Nieczytelny zapis treści zadania. Brak użycia edytora LateX.

Metoda funkcji tworzących.


chiacynt
postów: 749
2020-06-05 20:22:34

$ a_{n} = 3a_{n-1}-2a_{n-2}, \ \ a_{0}=0, a_{1}=1 $

Metoda funkcji tworzących (generujących)

Funkcja tworząca (generująca) ciągu

$ f(x)= \sum_{i=0}^{\infty}a_{i}x^{i} $

$ f(x) = \sum_{i=0}^{\infty}a_{i}x^{i} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^2 +a_{3}x^3+a_{4}x^4 +...= 0 +1x +(3a_{1}-2a_{0})x^2 +(3a_{2}-2a_{1})x^3 + (3a_{3} -2a_{2})x^4 +... $

$ f(x) = x + 3(a_{1}x^2+a_{2}x^3 +a_{3}x^4+...) -2(a_{0}x^2+a_{1}x^3 +a_{2}x^4+...) = x + 3x(f(x)-a_{0}x)- 2x^2f(x) $

$ f(x) = x +3xf(x) -2x^2 f(x) $

$ f(x) = \frac{x}{2x^2 -3x +1} = \frac{x}{(1-2x)(1-x)} $

Rozkład funkcji generującej na sumę ułamków prostych

$ f(x) = \frac{x}{(1-2x)(1-x)} = \frac{A}{1-2x} + \frac{B}{1-x}$

$ x \equiv (-A-2B)x + A + B $

$ \begin{cases} -A -2B = 1 \\ A + B = 0 \end{cases} $

$ A = 1, \ \ B = -1 $

$ f(x) = \frac{1}{1-2x} - \frac{1}{1-x} $

$ f(x) = (1 + 2x + 4x^2 +8x^3+...+ 2^{n}x^{n}+...) - (1 + x + x^2 + x^3 +...+ 1x^{n}+...)$

Porównując współczynniki przy $ x^{n}, \ \ n=0,1,2,... $ otrzymujemy wzór ogólny ciągu:

$ a_{n} = 2^{n} -1. $



Wiadomość była modyfikowana 2020-06-05 21:09:10 przez chiacynt
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj