logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 6388

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

wiktoria123456
postów: 16
2020-06-29 16:10:00

DLa prostopadłościanu o zadanej objętości V tak dobrac wymiary, żeby jego pole powierzchni całkowitej było minimalne.


chiacynt
postów: 749
2020-06-29 17:28:43

Objętość prostopadłościanu

$ V = x\cdot y \cdot z \ \ (1)$ ,

gdzie

$ x>0,\ \ y>0,\ \ z >0 $ są długościami krawędzi prostopadłościanu

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu

$ P = 2(xy + xz + yz) \ \ (2) $

Z równania $ (1) $ wyznaczamy

$ z = \frac{V}{xy} $ i wstawiamy do równania $ (2) $

$ P = 2\left (xy + x\frac{V}{xy} + y\frac{V}{xy}\right)$


$ P = 2\left (xy + \frac{V}{y} + \frac{V}{x}\right) $

Należy wyznaczyć minimum lokalne funkcji $ P $

$ \begin{cases} P'_{|x} = 2\left( y - \frac{V}{x^2}\right) =0 \\ P'_{|y} = 2\left( x - \frac{V}{y^2}\right) =0 \end{cases} $

Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy

$ \begin{cases} y = \frac{V}{x^2} \\ x = \frac{V}{y^2} \end{cases} $

$ \begin{cases} x^{*} = \sqrt[3]{V} \\ y^{*} = \sqrt[3]{V} \end{cases} $

Sprawdzamy, czy w punkcie

$ \left(\begin{matrix} x^{*}\\ y^{*} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \sqrt[3]{V}\\ \sqrt[3]{V} \end{matrix}\right) $

funkcja $ P $ ma minimum lokalne. W tym celu znajdujemy macierz drugiej różniczki tej funkcji


$ P^{''}_{|xx} = 4\frac{V}{x^3}$

$ P^{''}_{|xy} = 2 = P^{''}_{|yx} $

$ P^{''}_{|xx} = 4\frac{V}{y^3}$

Macierz drugiej różniczki

$ D^2(x,y) = \left[\begin{matrix} 4\frac{V}{x^3} & 2 \\ 2 & 4\frac{V}{y^3} \end{matrix} \right] $

Badamy określoność macierzy drugiej różniczki w punkcie
$ \left(\begin{matrix} x^{*}\\ y^{*} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \sqrt[3]{V}\\ \sqrt[3]{V} \end{matrix}\right) $

$ D^2(x^{*},y^{*}) = D^2\left(\sqrt[3]{V}, \sqrt[3]{V}\right) = \left[ \begin{matrix}4 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}\right] $

Macierz drugiej różniczki jest w tym punkcie dodatnio określona

bo wartości wyznaczników:

$ |4|>0, \ \ \left| \begin{matrix}4 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}\right| = 12 >0 $

W punkcie

$ \left(\begin{matrix} x^{*}\\ y^{*}\\ z^{*} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \sqrt[3]{V}\\ \sqrt[3]{V}\\ \sqrt[3]{V} \end{matrix}\right) $

występuje minimum lokalne funkcji $ P $ - wartość pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest minimalna i wynosi

$ P^{*} = 2(\sqrt[3]{V}\sqrt[3]{V} + \sqrt[3]{V}\sqrt[3]{V}+ \sqrt[3]{V}\sqrt[3]{V}) = 6\sqrt[3]{V^2} $

Wniosek

Ze wszystkich prostopadłościanów o danej objętości $ V $ najmniejsze pole powierzchni całkowitej ma sześcian.



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj