Geometria, zadanie nr 698
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
herga post贸w: 10 |  2012-11-25 21:30:55Dane s膮 dwa okr臋gi wsp贸艂艣rodkowe o(0,r), o(0,R), r<R, oraz punkt N nale偶膮cy do wi臋kszego okr臋gu. Poprowadzi膰 przez N wsp贸ln膮 sieczn膮 obu okr臋g贸w tak, aby trzy kolejne odcinki tej siecznej zawarte mi臋dzy okr臋gami by艂y r贸wne. Prosz臋 o pomoc w konstrukcji i dyskusji. |
irena post贸w: 2636 | 2012-11-26 10:22:02 Przede wszystkim- 偶eby mo偶na by艂o wykona膰 t臋 konstrukcj臋 musi by膰 $r<R\le3r$ Narysuj te okr臋gi. Zaznacz punkt N. P- drugi punkt przeci臋cia z du偶ym okr臋giem A, B- punkty przeci臋cia z ma艂ym okr臋giem Mamy mie膰: |PB|=|AB|=|AN|=x d- odleg艂o艣膰 siecznej od 艣rodka okr臋g贸w $\left\{\begin{matrix} d^2+(\frac{1}{2}x)^2=r^2 \\ d^2+(\frac{3}{2}x)^2=R^2 \end{matrix}\right.$ $r^2-\frac{1}{4}x^2=R^2-\frac{9}{4}x^2$ $R^2-r^2=2x^2$ $4x^2=2(R^2-r^2)$ $x=\frac{\sqrt{2(R^2-r^2)}}{2}=\sqrt{R^2-r^2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$ $t=\sqrt{R^2-r^2}$ to przyprostok膮tna w tr贸jk膮cie prostok膮tnym, w kt贸rym R to przeciwprostok膮tna, r- druga przyprostok膮tna $t\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$ to po艂owa przek膮tnej kwadratu o boku t. Teraz- po skonstruowaniu odcinka x, wystarczy z punktu N wykre艣li膰 艂uk o promieniu x. Znajdzie si臋 w ten spos贸b szukany punkt A. Za艂o偶enie pocz膮tkowe (mo偶liwo艣膰 wykonania konstrukcji) mo偶na wyprowadzi膰 z ostatecznego wyniku: - je艣li prosta sieczna przesz艂aby przez punkt O, to wtedy x=R-r - je艣li prosta sieczna nie przejdzie przez punkt O, to z nier贸wno艣ci tr贸jk膮ta OAN x+r>R, czyli x>R-r St膮d: $x\ge R-r$ $\sqrt{R^2-r^2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\ge R-r$ $\frac{1}{2}(R^2-r^2)\ge R^2-2Rr+r^2$ $R^2-r^2\ge2R^2-4rR+2r^2$ $R^2-4Rr+3r^2\le0$ $(R-r)(R-3r)\le0$ R>r $r<R\le3r$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2012-11-26 10:43:51 przez irena |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj