Konkursy, zadanie nr 1

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pio314 postów: 22	2010-03-12 12:57:10 Pływając po jeziorze w kształcie koła, Paweł znalazł się w miejscu, z którego, aby osiągnąć brzeg, płynąc: - na zachód - musiał pokonać dystans 20m, - na wschód - 60m, - na południe 30m. Jaki dystans będzie musiał pokonać z miejsca, w którym się znajduje, płynąc w kierunku północnym? Wiadomość była modyfikowana 2010-03-12 22:04:48 przez pio314

zorro postów: 106	2010-04-17 05:45:14 Niech "S" będzie środkiem okręgu (jeziora) a "R" jego promieniem. Przez "a" oznaczmy długość cięciwy wschód-zachód, a przez "b" długość cięciwy północ południe. Nasz pływak znajduje się na przecięciu cięciw w pkt."P". Z rysunku widać, że: a=20+60=80 b=x+30 Cięciwa "a" oraz promienie "R" łączące jej końce ze środkiem "S" tworzą trójkąt równoramienny. Oznaczmy jego wysokość (poprowadzoną od środka cięciwy do środka koła) przez $h_{1}$. Cięciwa "b" oraz promienie "R" łączące jej końce ze środkiem "S" także tworzą trójkąt równoramienny. Oznaczmy jego wysokość (poprowadzoną od środka cięciwy do środka koła) przez $h_{2}$. Z twierdzenia pitagorasa mamy: $R^{2}=(\frac{a}{2})^{2}+h_{1}^{2}$ przy czym $h_{1}=\frac{b}{2}-30=\frac{x+30}{2}-30=\frac{x-30}{2}$ Podobnie w drugim trójkącie: $R^{2}=(\frac{b}{2})^{2}+h_{2}^{2}$ przy czym $h_{2}=\frac{a}{2}-20=\frac{80}{2}-20=20$ Wobec równości promieni mamy równanie: $(\frac{80}{2})^{2}+(\frac{x-30}{2})^{2}=(\frac{x+30}{2})^{2}+20^{2}$ $\frac{(x-30)^{2}}{4}+1600=\frac{(x+30)^{2}}{4}+400$ $\frac{(x+30)^{2}}{4}-\frac{(x-30)^{2}}{4}=1200$ $(x+30)^{2}-(x-30)^{2}=4\cdot1200$ $x^{2}+60x+900-x^{2}+60x-900=4\cdot1200$ $120x=4\cdot1200$ x=40 Odp. w kierunku północnym Paweł ma do przepłynięcia 40m.

zorro postów: 106	2010-04-17 05:54:52 Proponuję rozwinąć to zadanie o trudniejsze nieco pytanie: Jaka jest najdłuższa droga, jaką Paweł może wybrać, a jaka najkrótsza, przy założeniu, że może płynąś "po skosie". Jaki azymut powinien obrać (kąt względem kierunku PN-PD)?

irena postów: 2636	2010-08-24 12:38:15 Najprościej chyba jednak wykorzystać twierdzenie o odcinkach siecznych. W tym wypadku: $20\cdot60=x\cdot30\\x=40m$ twierdzenie to łatwo wykazać: Jeśli nazwiemy punkty na tym okręgu: A, B, C, D, gdzie A to punkt na południu, a kolejne to punkty na okręgu w ruchu odwrotnym do wskazówek zegara. Punkt przecięcia cięciw nazwiemy P, to trójkąty APD i CPB są podobne. (Kąty DPA i CPB to kąty wierzchołkowe, a kąty ADP i ACB to kąty wpisane oparte na tym samym łuku- cecha (kkk)). Z podobieństwa tych trójkątów: $\frac{\|PD\|}{\|PA\|}=\frac{\|PC\|}{\|PB\|}$ $\frac{20}{30}=\frac{x}{60}$ czyli: $20\cdot60=x\cdot30$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj