Inne, zadanie nr 101

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
sysia postów: 1	2012-11-09 17:30:35 Obliczyć wyznacznik macierzy : 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4 Prosiłabym o dokładne obliczenie jeszcze nigdy nie miałam styczności z macierzami, a na ćwiczeniach nie omówiliśmy macierzy większych niż 4x4. Nie wiem w ogóle jak to ma wyglądać ... bardzo prosiłabym o pomoc i z góry dziękuję :)

tumor postów: 8070	2012-11-13 12:36:36 Można ten wyznacznik wyliczyć z tzw. rozwinięcia Laplace'a, masz macierz piątego stopnia, można jej wyznacznik sprowadzić do liczenia wyznaczników macierzy czwartego stopnia, a z kolei te wyznaczniki do wyznaczników macierzy trzeciego stopnia (które liczymy szybko), ale będzie to dużo liczenia, jeśli nie jesteś komputerem, a ryzyko jakiejś pomyłki znaczne. Rozsądniejszym wyjściem jest przekształcanie tej macierzy, ale z zachowaniem wyznacznika. Jeśli do jakiegoś wiersza dodasz inny wiersz pomnożony przez dowolną liczbę rzeczywistą, to wyznacznik się nie zmieni. Na przykład do drugiego wiersza możemy dodać pierwszy wiersz pomnożony przez -2. Wyjdzie: $\left[\begin{matrix} 1&2&3&4&5\\ 0&-1&-2&-3&-9\\ 3&4&5&1&2\\ 4&5&1&2&3\\ 5&1&2&3&4\\ \end{matrix}\right]$ Uzyskana macierz ma taki sam wyznacznik jak wyjściowa (czego się dowodzi na wykładzie :P). Możemy postąpić analogicznie, żeby wyzerować całą pierwszą kolumnę (czyli do trzeciego, czwartego i piątego wiersza dodajemy pierwszy przemnożony przez odpowiednie liczby). Będzie $\left[\begin{matrix} 1&2&3&4&5\\ 0&-1&-2&-3&-9\\ 0&-2&-4&-11&-13\\ 0&-3&-11&-14&-17\\ 0&-9&-13&-17&-21\\ \end{matrix}\right]$ Wyszło trochę liczb ujemnych. Jeśli pomnożysz cały wiersz przez liczbę -1, to cały wyznacznik zmieni Ci się na przeciwny. Ale jeśli zrobisz to z dwoma (lub czterema, sześcioma,...) wierszami, to wyznacznik wróci do wyjściowego. Czyli powyższa macierz ma ten sam wyznacznik co: $\left[\begin{matrix} 1&2&3&4&5\\ 0&1&2&3&9\\ 0&2&4&11&13\\ 0&3&11&14&17\\ 0&9&13&17&21\\ \end{matrix}\right]$ I możemy powtórzyć naszą czynność zerowania kolejnych miejsc w macierzy. Teraz użyjemy wiersza drugiego, dodamy go: pomnożony przez -2 do trzeciego pomnożony przez -3 do czwartego pomnożony przez -9 do piątego $\left[\begin{matrix} 1&2&3&4&5\\ 0&1&2&3&9\\ 0&0&0&5&-5\\ 0&0&5&5&-10\\ 0&0&-5&-10&-60\\ \end{matrix}\right]$ dodajmy teraz czwarty wiersz do piątego, a następnie trzeci do piątego $\left[\begin{matrix} 1&2&3&4&5\\ 0&1&2&3&9\\ 0&0&0&5&-5\\ 0&0&5&5&-10\\ 0&0&0&0&-75\\ \end{matrix}\right]$ Jeśli zamienimy miejscami dwa wiersze, to wyznacznik pomnoży się nam przez -1. Podobnie jeśli ostatni wiersz pomnożymy przez -1, to cały wyznacznik pomnoży się przez -1. Ale jeśli wykonamy obie te operacje, to wyznacznik pozostanie niezmieniony, prawda? Zatem: $\left[\begin{matrix} 1&2&3&4&5\\ 0&1&2&3&9\\ 0&0&5&5&-10\\ 0&0&0&5&-5\\ 0&0&0&0&75\\ \end{matrix}\right]$ Uzyskaliśmy macierz trójkątną. Wykonywaliśmy tylko operacje, które zachowywały wyznacznik niezmieniony. Nowa macierz ma ten sam wyznacznik, co macierz z zadania. A dla macierzy trójkątnej policzyć go łatwo: to po prostu iloczyn wyrazów na przekątnej. $115575=1875$ ---- Uwaga: wygodnie mi było robić operacje na wierszach, brałem wiersz, mnożyłem przez liczbę i dodawałem do innego. To samo można robić z kolumnami: kolumnę pomnożoną przez liczbę dodać do innej kolumny. Takie działanie nie zmienia wyznacznika macierzy.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj