Inne, zadanie nr 116
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
pm12 postów: 493 | 2013-02-27 18:49:49 zbadać liczbę rozwiązań równania $2^{cosx}$ = m|cosx| w zależności od parametru m x$\in$<0,2$\pi$> |
zorro postów: 106 | 2013-03-07 17:41:32 W podanym przedziale cosx może przybierać wartości <-1,1>. Wprowadzając pomocniczo u=cosx: Lewa strona: $y_{1}=2^{u}$ Prawa: $y_{2}=m|u|$ Od razu widać, że aby rozwiązanie istniało m>0. Rozważmy podprzedział $u\in<-1,0)$ Funkcja $y_{1}(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2}$ Wykres $y_{2}(u)=-mu$ może więc przeciąć $y_{1}(x) $ w jednym punkcie podprzedziału tylko dla $m\ge\frac{1}{2}$ Gdy $m=\frac{1}{2}$ punktem tym jest $u_{1}=-1$ Gdy $m>\frac{1}{2}$ punkt jest w przedziale $-1<u_{2}<0$ W pierwszym wypadku cosx=-1 tylko dla $x=\pi$ W drugim będą dwa rozwiązania $x=\alpha$ lub $x=2\pi-\alpha$ Teraz rozważmy podprzedział $u\in(0,1>$ Także tutaj wykresy mogą przeciąć się najwyżej w jednym punkcie gdyż w tym przedziale krzywa wykładnicza leży w całości nad linią $y_{2}(u)=2*u$ (można to sprawdzić licząc styczną dla u=1). Zatem dla m<2 nie ma tu rozwiązań, zaś dla $m\ge2$ jest jeden punkt przecięcia. Gdy m=2 rozwiązaniem jest u=1 więc cosx=1 czyli $x=0 $ lub $ x=2\pi$ Gdy m>2 rozwiązanie $u\in(0,1)$ więc też mamy dwie wartości x będące rozwiązaniem $x=\beta $ lub $ x=2\pi-\beta$ Dla u=0 nie ma rozwiązań (równanie sprzeczne). Podsumowując: Gdy $m<\frac{1}{2}$ - brak rozwiązań Gdy $m=\frac{1}{2}$ - jedno rozwiązanie $x=\pi$ Gdy $\frac{1}{2}<m<2$ - dwa rozwiązania Gdy $m\ge2$ - cztery rozwiązania Wiadomość była modyfikowana 2013-03-07 17:53:15 przez zorro |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj