Konkursy, zadanie nr 261
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| nauczycielka postów: 4 |  2017-02-16 17:27:47$$$$ Czworokąt ABCD jest wpisany w okrag, a liczby a, b, c, x wyznaczają proporcję miar kątów tego czworokąta w taki sposób że $\angle A:\angle B:\angle C:\angle D$ = a:b:c:d. a, b, c sa liczbami naturalnymi. Jakie warunki powodują że miary kątów są całkowite? Ile proporcji można ułożyć? Pomożecie? |
| tumor postów: 8070 | 2017-02-16 20:50:22 Czworokąt da się wpisać w okrąg, gdy suma przeciwległych kątów jest 180 stopni. Nadto zadanie nie mówi, że miary kątów mają się wyrażać liczbami naturalnymi, ale że mają być w proporcji jak liczby naturalne. Dla przykładu 3,5:2,5:1,5:1 ma się jak 7:5:3:2, prawda? Poza tym raz jest jakiś x, raz jakieś d. |
| nauczycielka postów: 4 | 2017-02-16 23:06:26 Miary kątów maja byc całkowite. Pomyliłam się, zamiast d ma byc x. To że da się wpisać jesli sumy miar przeciwległych mają byc 180 to wiadomo, ale jakie warunki trzeba narzucic na te liczby naturalne (proporcje) aby wynikały z nich całkowite kąty w czworokącie... |
| tumor postów: 8070 | 2017-02-16 23:21:24 Niezupełnie wiem, o co Ci chodzi. Jeśli masz miary kątów przy A i B (wybrane niezależnie), to C i D są już zdeterminowane. Możemy zatem rozumieć proporcję a:b:c:x jako proporcję między tymi samymi liczbami co $\angle A: \angle B:\angle C: \angle D$. Niekiedy da się liczby a,b,c,x skrócić, wówczas dostajemy tę samą proporcję inaczej zapisaną, Wówczas a+c=b+x oraz a+c|180. |
| nauczycielka postów: 4 | 2017-02-17 14:26:04 Dokładnie takie zadanie, przepisałam treść słowo w słowo dostałam do rozwiązania na studiach. Nic nie wymyśliłam. Nie chodzi o to żeby zadać kąty, w zadaniu jest napisane żeby zadać proporcje (liczby naturalne) a znich mają nam wyjśc kąty. Pytanie brzmi jak dobrać te proporcje (jakie warunki na nie nałożyć) aby kąty były całkowite z wzięciem pod uwage że mają tworzyć czworokąt wpisany w okrąg |
| panrafal postów: 174 | 2017-02-18 19:49:30 Wpierw zauważmy, że z podanych proporcji wynika również, że $\angle A:\angle C=a:c$ to samo można zrobić z B i D. Znajdźmy warunek konieczny, aby kąty A i C były całkowite: skoro $\frac{\angle A}{\angle C}=\frac{a}{c}$ to $\frac{\angle A * c}{\angle C * a}=1$ Wynika stąd,że kąt A dzieli się przez a, kąt C dzieli się przez c i ilorazy te dają ten sam wynik. Innymi słowy: $\angle A=a*x$ $\angle C=c*x$ gdzie x to jakaś liczba naturalna Jako, że czworokąt da się wpisać w okrąg to możemy ułożyć równanie: $x(a+c)=180$ Zatem a+c jest dzielnikiem 180, to jest warunek konieczny. Czy jest też warunkiem dostatecznym? Zauważ, że wcześniejsze rozumowanie możemy przeprowadzić również dla niecałkowitych kątów, po prostu wtedy x nie będzie liczbą naturalną. Jednakże warunek podzielności 180 przez a+c sprawia, że x jest naturalny, a zatem kąty też wyrażają się liczbami naturalnymi. Czyli jest to też warunek dostateczny. To samo rozumowanie możemy przeprowadzić dla kątów B i D. Teraz pytanie ile będzie możliwych proporcji. X jest wspólny dla wszystkich kątów, więc trzeba po prostu sprawdzić ile dzielników ma 180, biorąc pod uwagę, że a+c=b+d, czyli trzeba będzie jeszcze przemnożyć przez liczbę tych sum. Wiadomość była modyfikowana 2017-02-18 19:53:17 przez panrafal |
| nauczycielka postów: 4 | 2017-02-21 18:26:20 Super, doszłam do podobnych wniosków tylko nie sformułowałam ich tak ładnie jak ty. Teraz utwierdziłam się, że chyba o to właśnie chodziło. Dzięki wielkie za pomoc! |
| panrafal postów: 174 | 2017-02-22 13:03:47 Nie ma sprawy :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj