Konkursy, zadanie nr 279

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
ik99 postów: 7	2018-07-09 13:25:34 Witam! Mam znów problem, tym razem w temacie szeregów liczbowych. Należy zbadać zbieżność szeregów: 1) \sum_{x=1}^{\infty} [(x^{3} + x)^{1/3} - (x^{3} - x)^{1/3}] ODP: szereg rozbieżny 2) \sum_{x=1}^{\infty} [(x^{3} + 4)^{1/3} - x] ODP: szereg zbieżny Czy ktoś mógłby mi wyjaśnić, dlaczego te szeregi są takie a nie inne? Bo według mnie obydwa są rozbieżne :/ Proszę o pomoc

tumor postów: 8070	2018-07-09 16:56:03 1) $(\sqrt[3]{x^3+x}-\sqrt[3]{x^3-x})\cdot \frac{\sqrt[3]{(x^3+x)^2}+\sqrt[3]{(x^3+x)(x^3-x)}+\sqrt[3]{(x^3-x)^2}}{\sqrt[3]{(x^3+x)^2}+\sqrt[3]{(x^3+x)(x^3-x)}+\sqrt[3]{(x^3-x)^2}}=\frac{2x}{\sqrt[3]{(x^3+x)^2}+\sqrt[3]{(x^3+x)(x^3-x)}+\sqrt[3]{(x^3-x)^2}}$ Kryterium porównawcze z szeregiem $\sum \frac{1}{n}$ da rozbieżność 2) $(\sqrt[3]{x^3+4}-\sqrt[3]{x^3})\cdot \frac{\sqrt[3]{(x^3+4)^2}+\sqrt[3]{x^3(x^3+4)}+\sqrt[3]{x^6}}{\sqrt[3]{(x^3+4)^2}+\sqrt[3]{x^3(x^3+4)}+\sqrt[3]{x^6}}=\frac{4}{\sqrt[3]{(x^3+4)^2}+\sqrt[3]{x^3(x^3+4)}+\sqrt[3]{x^6}}$ Kryterium porównawcze z szeregiem $\sum \frac{1}{n^2}$ da zbieżność

ik99 postów: 7	2018-07-09 18:11:08 Dziękuję za pomoc :)

ik99 postów: 7	2018-07-09 22:23:07 Chyba dalej czegoś nie rozumiem... Zamieszczam dwa kolejne przykłady, próbowałam robić jak wyżej, ale znowu wychodzi nie to o ma wyjść 1) \sum_{x=1}^{\infty} 1/[x((x^{2} + x)^{1/2} - x)] ODP: szereg rozbieżny 2) \sum_{x=1}^{\infty} 1/[x((x^{2} + x^{3/2})^{1/2} - x)] ODP: szereg zbieżny Bardzo proszę o pomoc :)

tumor postów: 8070	2018-08-24 10:00:50 Ogólnie dowodzi się twierdzenia, że szereg $\sum\frac{1}{n^\alpha}$ jest rozbieżny dla $\alpha\in [0,1]$, zbieżny dla $\alpha>1$. Szeregi te są wygodne do kryterium porównawczego. $\frac{1}{x((x^{2} + x)^{1/2} - x)}= \frac{1}{x((x^{2} + x)^{1/2} - x)}*\frac{(x^{2} + x)^{1/2} + x}{(x^{2} + x)^{1/2} + x}= \frac{(x^{2} + x)^{1/2} + x}{x^2}=\frac{x(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1)}{x^2}=\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}{x}$ taki ciąg zachowuje się jak $\frac{2}{x}$, rozbieżny obliczając dokładnie analogicznie w drugim przykładzie dostajemy $\frac{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+1}{x^\frac{3}{2}}$ porównywalny z $\frac{2}{x^\frac{3}{2}}$, który jest oczywiście zbieżny --- Teraz nieco o kryterium porównawczym. Może znasz wersję taką: jeśli $\|a_n\|<\|b_n\|$ i $\sum b_n$ zbieżny, to $\sum a_n$ zbieżny (i odpowiednio dla rozbieżności). Polecam jednak przemyśleć też stosowanie innej. Poniżej zakładamy niezerowanie się mianownika: jeśli granica $\frac{a_n}{b_n}$ jest skończona niezerowa (równocześnie jest niezerowa skończona granica $\frac{b_n}{a_n})$, to $\sum a_n, \sum b_n$ są oba zbieżne lub oba rozbieżne. (Można jeszcze dopisać dalszą część twierdzenia, ale nie jest ona potrzebna w tej chwili).

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj