Liczby naturalne
Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Pojęcie liczby jest jednym z najstarszych i najbardziej abstrakcyjnych pojęć, jednak niewiedza na temat czym liczby są, nie przeszkadza nam sprawnie się nimi posługiwać. Liczby naturalne można ustawić w ciąg nieskończony (po kolei jedna za drugą). Dysponując jedynką, łatwo jest otrzymać wszystkie inne liczby naturalne, trzeba tylko cierpliwie dodawać. Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele, a zbiór liczb naturalnych oznaczamy symbolem $N$.
Zbiór liczb naturalnych $N$ jest najmniejszym zbiorem, spełniającym następujące warunki:
$0 \in N$
Jeśli $n \in N$, to $n + 1 \in N$
$$N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, \ldots$$
Czy zero jest liczbą naturalną?
To zależy od definicji. Czasem matematycy przyjmują, że zero jest liczbą naturalną, a czasem zaczynają od jedynki.
Przy określaniu kolejności jest obojętne, czy liczby naturalne będą się zaczynać od $0$, $1$, czy od jakiejkolwiek innej z liczb.
Przy określaniu liczebności sensowne jest, żeby liczby naturalne zaczynały się od zera, czyli od mocy zbioru pustego.
Natomiast jako przedmiot badań teorii liczb, zero okazuje się wyjątkiem i do większości twierdzeń i definicji trzeba dodać zastrzeżenia,
że coś jest różne albo większe od zera.
Postulaty Peano
Podanie ścisłej definicji zbioru liczb naturalnych nie było proste i zajęło matematykom wiele czasu. Giuseppe Peano
zaproponował następujące warunki, które definiują zbiór liczb naturalnych.
- istnieje liczba naturalna $0$,
- każda liczba naturalna ma swój następnik,
- zero nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej,
- różne liczby naturalne mają różne następniki,
- jeśli zero ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność
(zasada indukcji matematycznej).