Zadanie 12

Szukamy $1000$. cyfry po przecinku liczby $\dfrac{6}{13}$.

Korzystamy z rozwinięcia okresowego.
Wiadomo, że $\dfrac{1}{13}=0.\overline{076923}$, więc po pomnożeniu przez $6$ mamy $\dfrac{6}{13}=0.\overline{461538}$ – okres ma długość $6$ i wynosi $461538$.
Numer cyfry w okresie wyznaczamy z reszty z dzielenia przez długość okresu: $1000 \equiv 4 \pmod{6}$ (bo $1000=6\cdot 166+4$).
To oznacza, że 1000. cyfra to $4$-ta cyfra w bloku $461538$, czyli $5$.