Zadanie 12

Dany jest ciąg $(a_n)$ z $a_1=2$ oraz zależnością rekurencyjną $a_n=3a_{n+1}+n^2$ (dla $n\ge 1$).

Z równania wyznaczamy kolejny wyraz: $a_{n+1}=\dfrac{a_n-n^2}{3}$.
Dla $n=1$: $a_2=\dfrac{a_1-1^2}{3}=\dfrac{2-1}{3}=\dfrac{1}{3}$.
Dla $n=2$: $a_3=\dfrac{a_2-2^2}{3}=\dfrac{\tfrac{1}{3}-4}{3}=\dfrac{-\tfrac{11}{3}}{3}=-\dfrac{11}{9}$.

Zatem szukana suma: $a_1+a_2+a_3=2+\dfrac{1}{3}-\dfrac{11}{9}=\dfrac{18}{9}+\dfrac{3}{9}-\dfrac{11}{9}=\dfrac{10}{9}$.

Odpowiedź: $\boxed{\dfrac{10}{9}}$.