Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = x^6 -2x^4 - x^3 + 1$, dla każdego $x \in R$. Wykaż, że liczba $5$ należy do zbioru wartości tej funkcji.
Mamy $f(x)=x^6-2x^4-x^3+1$. Chcemy wykazać, że istnieje $x\in\mathbb{R}$ takie, że $f(x)=5$, czyli że liczba $5$ należy do zbioru wartości $f$.
Krok 1 (ciągłość): $f$ jest wielomianem, więc jest funkcją ciągłą na $\mathbb{R}$.
Metoda (Tw. Darboux/Bolzana na przedziale $(1,2)$): Obliczmy wartości skrajne: $f(1)=1-2-1+1=-1$ oraz $f(2)=64-2\cdot16-8+1=25$.
Ponieważ $-1 \lt 5 \lt 25$ i $f$ jest ciągła, to z twierdzenia o wartości pośredniej istnieje $c\in(1,2)$ takie, że $f(c)=5$. Zatem $5$ należy do zbioru wartości funkcji $f$.