Zadanie 42

1) Równanie z parametrem: $\displaystyle \frac{2x-3}{a}=x-1$. Wymagamy $a\ne 0$ (dzielenie przez $a$).

2) Mnożymy obustronnie przez $a$ (dla $a\ne 0$):
$2x-3=a(x-1)=ax-a$.
Porządkujemy:
$2x-ax=3-a \Longleftrightarrow x(2-a)=3-a$.

3) Rozpatrujemy przypadki dla $a$:
• Jeśli $a\ne 2$, to $2-a\ne 0$ i mamy jedno rozwiązanie:
$\displaystyle x=\frac{3-a}{\,2-a\,}=1+\frac{1}{\,2-a\,}$.

• Jeśli $a=2$, to równanie staje się $2x-3=2x-2$, czyli $-3=-2$ — sprzeczne, brak rozwiązań.
• Jeśli $a=0$, równanie nie ma sensu (dzielenie przez $0$), brak rozwiązań.

Wniosek: Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie dla wszystkich $a\in\mathbb{R}\setminus\{0,2\}$, a wtedy
$\displaystyle x=\frac{3-a}{\,2-a\,}$.