Szukamy pięciocyfrowych liczb parzystych z co najwyżej dwiema cyframi $2$. Oznaczmy pozycje: $1,2,3,4,5$ (gdzie $1$ – cyfra dziesiątek tysięcy, $5$ – cyfra jedności). Warunki: cyfra $1$ $\neq 0$, cyfra $5$ parzysta $\in\{0,2,4,6,8\}$. Zliczamy przypadki według liczby dwójek $k=0,1,2$.
1) Brak dwójek ($k=0$):
$;$• pozycja $5$: ${0,4,6,8}$ – $4$ możliwości (bez $2$),
$;$• pozycja $1$: ${1,3,4,5,6,7,8,9}$ – $8$ możliwości (bez $0,2$),
$;$• pozycje $2,3,4$: po $9$ możliwości (dowolna cyfra $\neq 2$).
$\Rightarrow N_0=8\cdot 9^3\cdot 4$.
2) Dokładnie jedna dwójka ($k=1$):
(a) Dwójka na pozycji $5$: $N_{1a}=8\cdot 9^3$.
(b) Dwójka na pozycjach $1$–$4$ (nie na $5$):
• jeśli na pozycji $1$: $4\cdot 9^3$,
• jeśli na pozycji $2,3$ lub $4$: $3\cdot 4\cdot 8\cdot 9^2$.
$\Rightarrow N_{1b}=4\cdot 9^3+3\cdot 4\cdot 8\cdot 9^2$.
Sumarycznie $N_1=N_{1a}+N_{1b}=12\cdot 9^3+96\cdot 9^2$.
3) Dokładnie dwie dwójki ($k=2$):
(a) Jedna dwójka na pozycji $5$: $N_{2a}=9^3+3\cdot 8\cdot 9^2$.
(b) Żadna dwójka na pozycji $5$ (obie w $1$–$4$): $N_{2b}=3\cdot 4\cdot 9^2+3\cdot 8\cdot 9\cdot 4$.
Sumarycznie $N_2=9^3+36\cdot 9^2+96\cdot 9$.
Razem:
$\displaystyle N=N_0+N_1+N_2=(32\cdot 9^3)+(12\cdot 9^3+96\cdot 9^2)+(9^3+36\cdot 9^2+96\cdot 9)$
$\displaystyle =45\cdot 9^3+132\cdot 9^2+96\cdot 9$
$\displaystyle =45\cdot 729+132\cdot 81+96\cdot 9=32,805+10,692+864=44,361$.
Odpowiedź: $44,361$.