Zadanie 41

1) Skorzystaj z tożsamości $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $ i podstaw do równania:
$\cos 2x + 2 = 3\cos x \Longleftrightarrow (2\cos^2 x - 1) + 2 = 3\cos x$.

Uporządkuj wyrażenie do postaci kwadratowej względem $c=\cos x$:
$2\cos^2 x + 1 = 3\cos x \Longleftrightarrow 2c^2 - 3c + 1 = 0$.

Rozwiąż równanie kwadratowe:
$2c^2 - 3c + 1 = (2c - 1)(c - 1)=0 \Longrightarrow c=\frac12 \text{lub} c=1$.

Wróć do zmiennej $x$:
$\cos x = 1 \Longrightarrow x = 2k\pi, k\in\mathbb{Z}$.
$\cos x = \frac12 \Longrightarrow x = 2k\pi \pm \frac{\pi}{3},; k\in\mathbb{Z}$.

Odpowiedź: $x \in {,2k\pi,; 2k\pi \pm \tfrac{\pi}{3} : k\in\mathbb{Z},}$.