Zadanie 40

1) Przenieśmy wszystko na jedną stronę:
$\displaystyle x^4+x^2-2x \ge 0.$

Rozłóżmy na czynniki (szukamy postaci $(x^2- x)(x^2+x+2)$):
$(x^2-x)(x^2+x+2)=x^4+x^2-2x.$
Zatem nierówność jest równoważna:
$\displaystyle (x^2-x),(x^2+x+2)\ge 0.$

Zauważmy, że trójmian $x^2+x+2$ ma deltę $\Delta=1-8=-7<0$, więc jest zawsze dodatni:
$\displaystyle x^2+x+2>0\ \ \text{dla każdego }x.$

Znak iloczynu zależy więc tylko od $x^2-x\ge 0$:
$\displaystyle x^2-x = x(x-1)\ge 0 \Longleftrightarrow x\in(-\infty,0]\cup[1,\infty).$

Odpowiedź: Zbiór rozwiązań to $,(-\infty,0]\cup[1,\infty),$.