W układzie współrzędnych wyznacz równanie okręgu stycznego do obu osi układu współrzędnych, który przechodzi przez punkt $A=(5,12)$
1) Okrąg styczny do obu osi ma środek w punkcie $(r,r)$ i promień $r>0$ (wtedy styka się z $Ox$ w $(r,0)$ i z $Oy$ w $(0,r)$). Zatem jego równanie ma postać
$(x-r)^2+(y-r)^2=r^2.$
2) Punkt $A=(5,12)$ leży na okręgu, więc spełnia równanie:
$(5-r)^2+(12-r)^2=r^2.$
Rozwijamy i upraszczamy:
$25-10r+r^2+144-24r+r^2=r^2 \Longleftrightarrow r^2-34r+169=0.$}
4) Otrzymujemy dwa okręgi (oba styczne do osi i przechodzące przez $A$):
$\boxed{(x-(17-2\sqrt{30}))^2+(y-(17-2\sqrt{30}))^2=(17-2\sqrt{30})^2}$,
$\boxed{(x-(17+2\sqrt{30}))^2+(y-(17+2\sqrt{30}))^2=(17+2\sqrt{30})^2}$.
Środki to odpowiednio $(17-2\sqrt{30},\,17-2\sqrt{30})$ i $(17+2\sqrt{30},\,17+2\sqrt{30})$.