Zadanie 44

Rozwiążmy nierówność krok po kroku:

$2 - x^2 + 2(x-3)(x+2) \le (x+1)(x+2) + 3$

Rozwińmy nawiasy:
$(x-3)(x+2)=x^2 - x - 6 \Rightarrow 2(x-3)(x+2)=2x^2 - 2x - 12$
$(x+1)(x+2)=x^2 + 3x + 2$

Podstawmy do nierówności i uprośćmy obie strony:
Lewo: $2 - x^2 + (2x^2 - 2x - 12)=x^2 - 2x - 10$
Prawo: $(x^2 + 3x + 2)+3 = x^2 + 3x + 5$

Porównajmy strony (odejmij $x^2$ po obu stronach):
$x^2 - 2x - 10 \le x^2 + 3x + 5 \Longleftrightarrow -2x - 10 \le 3x + 5$
$\Longleftrightarrow -5x \le 15 \Longleftrightarrow x \ge -3$

Zatem rozwiązaniem jest zbiór $x \in [-3,\infty)$.

Najmniejsza liczba całkowita spełniająca nierówność: $-3$.