Zadanie 44

Chcemy wykazać, że dla dowolnych różnych $x,y\in\mathbb{R}$ zachodzi
$x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2 - 8xy + 4 > 0$.

1) Zauważmy, że możemy dopełnić kwadrat względem iloczynu $xy$ oraz różnicy $x-y$:

$(xy-2)^2 = x^2y^2 - 4xy + 4,$ $2(x-y)^2 = 2(x^2 - 2xy + y^2) = 2x^2 + 2y^2 - 4xy.$

2) Dodając te dwa wyrażenia, otrzymujemy dokładnie nasz wielomian:

$ (xy-2)^2 + 2(x-y)^2 = \big(x^2y^2 - 4xy + 4\big) + \big(2x^2 + 2y^2 - 4xy\big) = x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2 - 8xy + 4 $. Zatem $x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2 - 8xy + 4 = (xy-2)^2 + 2(x-y)^2$.

3) Oba składniki po prawej stronie są kwadratami (drugi jeszcze pomnożony przez $2$), więc są nieujemne. Ponadto, jeśli $x\neq y$, to $(x-y)^2>0$, stąd cały wyraz $2(x-y)^2>0$. Niezależnie od $xy$, dostajemy wtedy:
$(xy-2)^2 + 2(x-y)^2 > 0.$

Wniosek: Dla wszystkich różnych liczb rzeczywistych $x\neq y$ mamy $x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2 - 8xy + 4 > 0$.