Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $15$ i $20$ wpisano w okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu i przeciwprostokątnej.
Interpretujemy „punkt wspólny okręgu i przeciwprostokątnej” jako punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt z przeciwprostokątną (to naturalna i nietrywialna interpretacja zadania). Rozpatrzmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $15$ i $20$.
Długość przeciwprostokątnej: z Pitagorasa
$\displaystyle c=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=25$.
Półobwód i promień okręgu wpisanego (nie są nam bezpośrednio potrzebne, ale pomagają ustalić podział przeciwprostokątnej):
$\displaystyle s=\frac{15+20+25}{2}=30,\quad r=\frac{S}{s}=\frac{\tfrac12\cdot 15\cdot 20}{30}=5$.
Punkt styczności okręgu wpisanego z przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki długości
$;s-15=15;$ oraz $;s-20=10;$ (suma $15+10=25=c$).
Ustalmy układ współrzędnych: umieśćmy przeciwprostokątną jako odcinek na osi $Ox$ od $A=(0,0)$ do $B=(25,0)$. Wierzchołek kąta prostego $C$ spełnia
$;CA=15,;CB=20$. Rozwiązując układ
$\displaystyle x_C^2+y_C^2=15^2,\quad (x_C-25)^2+y_C^2=20^2$
dostajemy $;x_C=9,;y_C=12$ (bierzemy $y_C>0$). Zatem $C=(9,12)$.
Punkt styczności $T$ leży na przeciwprostokątnej w odległości $15$ od $A$ (i $10$ od $B$), więc $T=(15,0)$.
Szukana długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego $C$ z punktem $T$:
$\displaystyle CT=\sqrt{(9-15)^2+(12-0)^2}=\sqrt{(-6)^2+12^2}=\sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}.$