Punkty krytyczne (miejsca zerowe wyrażeń pod wartością bezwzględną): $0,\frac{4}{3},2$.
Rozpatrujemy przedziały wyznaczone tymi punktami.
1. $x<0$.
Wtedy $|x|=-x, |x-2|=2-x, |3x-4|=4-3x$.
Mamy $ (2-x)+(4-3x) \lt -x \Longleftrightarrow 6-4x<-x \Longleftrightarrow 6 \lt 3x \Longleftrightarrow x>2$, co przeczy $x<0$.
Brak rozwiązań.
2. $ 0\le x \lt \tfrac{4}{3} $.
Wtedy $|x|=x, |x-2|=2-x, |3x-4|=4-3x $.
Stąd $ (2-x)+(4-3x) \lt x \Longleftrightarrow 6-4x \lt x \Longleftrightarrow 6 \lt 5x \Longleftrightarrow x>\frac{6}{5} $.
Z tego przedziału dostajemy $ x\in\big(\tfrac{6}{5},\tfrac{4}{3}\big) $.
3 $\tfrac{4}{3}\le x<2$.
Wtedy $|x|=x, |x-2|=2-x, |3x-4|=3x-4$.
Otrzymujemy $(2-x)+(3x-4) \lt x \Longleftrightarrow -2+2x \lt x \Longleftrightarrow x<2$.
Spełnione dla całego przedziału, zatem $x\in\big[\tfrac{4}{3}, 2\big)$.
(W punkcie $x=\tfrac{4}{3}$ mamy $,|x-2|+|3x-4|=\tfrac{2}{3}+0 \lt \tfrac{4}{3}=|x|$.)
4. $x\ge 2$.
Wtedy $|x|=x, |x-2|=x-2, |3x-4|=3x-4$.
Dostajemy $(x-2)+(3x-4) \lt x \Longleftrightarrow 4x-6 \lt x \Longleftrightarrow 3x \lt 6 \Longleftrightarrow x \lt 2$, co jest sprzeczne z $x\ge2$.
Brak rozwiązań.
Zebrane wyniki: $x\in\big(\tfrac{6}{5},\tfrac{4}{3}\big)\cup\big[\tfrac{4}{3},2\big)=\big(\tfrac{6}{5},2\big)$.
Rozwiązaniem nierówności jest $x\in\left(\tfrac{6}{5},2\right)$.