Zadanie 29

Niech trójkąt prostokątny ma przyprostokątne $a,b$ oraz przeciwprostokątną $c$.
Promień okręgu wpisanego to $r=\dfrac{a+b-c}{2}$. Z warunku „$r$ jest pięć razy krótszy od $c$” mamy $r=\dfrac{c}{5}$, więc

$\displaystyle \frac{a+b-c}{2}=\frac{c}{5}\Longrightarrow a+b=\frac{7}{5}c.$

Korzystamy też z zależności $r=\dfrac{ab}{a+b+c}$, stąd

$\displaystyle \frac{ab}{\,a+b+c\,}=\frac{c}{5}\Longrightarrow \frac{ab}{\,\frac{7}{5}c+c\,}=\frac{c}{5}\Longrightarrow ab=\frac{12}{25}c^{2}.$

Zatem $(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=\left(\frac{7}{5}c\right)^2-4\cdot\frac{12}{25}c^2=\frac{49-48}{25}c^2=\frac{1}{25}c^2$, więc $a-b=\frac{c}{5}$ (przyjmujemy dodatni znak, bo $a\ge b$ dla większego kąta).
Rozwiązując układ $a+b=\frac{7}{5}c$ i $a-b=\frac{1}{5}c$ dostajemy $a=\frac{4}{5}c$, $b=\frac{3}{5}c$. Większemu kątowi ostrym przeciwległa jest dłuższa przyprostokątna $a$, więc

$\displaystyle \sin(\text{większego kąta})=\frac{a}{c}=\frac{4}{5}$.