Zadanie 28

Rozważmy nierówność $x^4+x^2\ge 2x \Longleftrightarrow x^4+x^2-2x\ge 0$.

Rozkładamy na czynniki: $x^4+x^2-2x = x(x^3+x-2)$. Ponieważ $x=1$ zeruje nawias, dzielimy $x^3+x-2$ przez $(x-1)$ i dostajemy $x^3+x-2=(x-1)(x^2+x+2)$.

Zatem $x^4+x^2-2x = x(x-1)(x^2+x+2)$.

Kwadratowy czynnik $x^2+x+2$ jest zawsze dodatni (np. $\Delta=1-8=-7<0$, albo $x^2+x+2=(x+\tfrac12)^2+\tfrac{7}{4}>0$), więc znak wyrażenia zależy tylko od $x(x-1)$.

Warunek $x(x-1)\ge 0$ zachodzi dla $x\le 0$ lub $x\ge 1$.

Wniosek: zbiorem rozwiązań jest $(-\infty,0]\cup[1,\infty)$.