Zadanie 31

Niech $C=(x,x+1)\in k$. Wykorzystamy tożsamość: dla dowolnych $A,B$ i punktu $C$ mamy

$|AC|^2+|BC|^2=2\left|\,C-\frac{A+B}{2}\right|^{2}+\frac{|AB|^{2}}{2}$,

więc suma $|AC|^2+|BC|^2$ jest najmniejsza, gdy $C$ jest jak najbliżej środka $M=\frac{A+B}{2}$.

Liczymy $M=\left(\frac{1+9}{2},\frac{5+3}{2}\right)=(5,4)$. Zatem szukany $C$ to rzut prostopadły punktu $M$ na prostą $k:\ y=x+1$.

Prosta prostopadła do $k$ przechodząca przez $M$ ma równanie $y-4=-1(x-5)$, czyli $y=-x+9$.

Punkt przecięcia: $x+1=-x+9 \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow x=4$, stąd $y=5$.

Zatem $C=(4,5)$ (leży na $k$, a suma $|AC|^2+|BC|^2$ jest wtedy najmniejsza).