Dany jest punkt $ A=(1,4)$ oraz prosta $k: y=-2x+1$. Wyznacz współrzędne punktu $C \in k$, który leży najbliżej punktu $A$.
Szukamy punktu $C$ na prostej $k: y=-2x+1$ najbliższego do $A=(1,4)$.
Najkrótszy odcinek do prostej jest prostopadły do niej, więc wystarczy znaleźć rzut prostopadły punktu $A$ na $k$.
Nachylenie prostej $k$ to $m=-2$, więc nachylenie prostej prostopadłej wynosi $m_\perp=\displaystyle -\frac{1}{m}=\frac{1}{2}$.
Równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez $A$ ma postać: $y-4=\frac{1}{2}(x-1)$.
Punkt $C$ jest przecięciem $y=-2x+1$ i $y-4=\frac{1}{2}(x-1)$. Z drugiego równania $y=4+\frac{1}{2}(x-1)=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$.
Podstawiamy do $y=-2x+1$: $-2x+1=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}\ \Rightarrow\ -4x+2=x+7\ \Rightarrow\ -5x=5\ \Rightarrow\ x=-1$.