Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych $x, y$ prawdziwa jest nierówność $x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2 - 8xy + 4 > 0$.
Zauważmy, że wyrażenie można rozłożyć na sumę kwadratów:
$x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2 - 8xy + 4 = (xy - 2)^2 + 2(x - y)^2$.
Rzeczywiście,
$(xy - 2)^2 = x^2y^2 - 4xy + 4,\qquad 2(x - y)^2 = 2x^2 - 4xy + 2y^2$, więc po dodaniu otrzymujemy dokładnie
$ x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2 - 8xy + 4$.
Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, mamy
$(xy - 2)^2 \ge 0 \quad \text{oraz} \quad 2(x - y)^2 \ge 0$.
Co więcej, jeśli $x \ne y$, to $2(x-y)^2 > 0$, a więc $(xy - 2)^2 + 2(x - y)^2 > 0$.
Wniosek
Dla wszystkich różnych $x, y \in \mathbb{R}$ zachodzi
$x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2 - 8xy + 4 > 0$.
Równość $=0$ jest możliwa jedynie przy $x=y$ oraz $xy=2$ (czyli $x=y=\pm\sqrt{2}$), co nie spełnia warunku $x\ne y$.