Rozwiązujemy równanie $\,\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0\,$ w przedziale $[0,\pi]$.
Krok 1. Zastosuj wzór na sumę sinusów do $\sin 3x+\sin x$:
$\sin 3x+\sin x=2\sin\!\left(\frac{3x+x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{3x-x}{2}\right)=2\sin(2x)\cos x.$
Zatem całe równanie przyjmuje postać: $\sin x+\sin 2x+\sin 3x = \big(2\sin(2x)\cos x\big)+\sin 2x=\sin 2x\,(2\cos x+1)=0.$
Krok 2. Rozbij na przypadki: (a) $\sin 2x=0 \Longleftrightarrow 2x=k\pi \Longleftrightarrow x=\dfrac{k\pi}{2}.$
W $[0,\pi]$ daje to $x\in\{0,\dfrac{\pi}{2},\pi\}$.
(b) $2\cos x+1=0 \Longleftrightarrow \cos x=-\dfrac{1}{2}.$
W $[0,\pi]$ otrzymujemy $x=\dfrac{2\pi}{3}$.
Krok 3. Zbiór rozwiązań w $[0,\pi]$: $\displaystyle \boxed{\,x\in\left\{\,0,\dfrac{\pi}{2},\dfrac{2\pi}{3},\pi\,\right\}\,}.$