Rozwiążemy nierówność $\,|2x-6|+|x+7|\ge 17\,$ metodą przedziałów wyznaczonych przez punkty, w których wyrażenia pod wartością bezwzględną zmieniają znak:
$2x-6=0 \Rightarrow x=3$ oraz $x+7=0 \Rightarrow x=-7$.
Rozpatrujemy trzy przedziały: $(-\infty,-7]$, $\[-7,3]$, $\[3,\infty)$.
Przypadek 1: $x\le -7$.
Wtedy $2x-6\le 0$ i $x+7\le 0$, więc $|2x-6|=-(2x-6)=-2x+6$, $|x+7|=-(x+7)=-x-7$.
Suma: $(-2x+6)+(-x-7)=-3x-1\ge 17 \Longleftrightarrow -3x\ge 18 \Longleftrightarrow x\le -6$.
Na przedziale $x\le -7$ to spełnione dla wszystkich $x$ (bo $x\le -7 \Rightarrow x\le -6$).
Zatem rozwiązania w tym przypadku: $(-\infty,-7]$.
Przypadek 2: $-7\le x\le 3$.
Wtedy $2x-6\le 0$, $x+7\ge 0$, więc $|2x-6|=-2x+6$, $|x+7|=x+7$.
Suma: $(-2x+6)+(x+7)=-x+13\ge 17 \Longleftrightarrow -x\ge 4 \Longleftrightarrow x\le -4$.
Po przecięciu z $[-7,3]$ otrzymujemy $[-7,-4]$.
Przypadek 3: $x\ge 3$.
Wtedy $2x-6\ge 0$, $x+7\ge 0$, więc $|2x-6|=2x-6$, $|x+7|=x+7$.
Suma: $(2x-6)+(x+7)=3x+1\ge 17 \Longleftrightarrow 3x\ge 16 \Longleftrightarrow x\ge \dfrac{16}{3}$.
Po przecięciu z $[3,\infty)$ dostajemy $\left[\dfrac{16}{3},\infty\right)$.
Wniosek końcowy.
Z przypadków 1 i 2: $(-\infty,-7]\cup[-7,-4]=(-\infty,-4]$. Dodając przypadek 3, mamy
$\boxed{(-\infty,-4]\ \cup\ \left[\dfrac{16}{3},,\infty\right),}$.