Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty $A = (-5,3)$ i $B = (0,6)$, którego środek leży na prostej o równaniu $x-3y + 1 = 0$.
Szukamy równania okręgu przechodzącego przez punkty $A=(-5,3)$ i $B=(0,6)$, którego środek $S=(x_0,y_0)$ leży na prostej $x-3y+1=0$.
Krok 1. Warunek na środek z prostej. $x_0-3y_0+1=0 \Longleftrightarrow y_0=\dfrac{x_0+1}{3}$.
Krok 2. Symetralna odcinka $AB$. Środek odcinka $AB$: $M=\left(\dfrac{-5+0}{2},\dfrac{3+6}{2}\right)=\left(-\dfrac{5}{2},\dfrac{9}{2}\right)$. Wektor $\overrightarrow{AB}=(5,3)$, więc nachylenie prostej $AB$ to $m=\dfrac{3}{5}$, a symetralna ma nachylenie $m_\perp=-\dfrac{5}{3}$. Równanie symetralnej: $\,y-\dfrac{9}{2}=-\dfrac{5}{3}\!\left(x+\dfrac{5}{2}\right)$.
Krok 3. Wyznaczenie środka $S$ jako przecięcia warunków. Podstaw $y=\dfrac{x+1}{3}$ do symetralnej: $\dfrac{x+1}{3}-\dfrac{9}{2}=-\dfrac{5}{3}\!\left(x+\dfrac{5}{2}\right)$. Po uporządkowaniu otrzymujemy $x=0$, a zatem $y=\dfrac{0+1}{3}=\dfrac{1}{3}$. Zatem $S=(0,\tfrac{1}{3})$.
Krok 4. Promień okręgu. $r=|SA|$, więc $r^2=(0+5)^2+\Big(\tfrac{1}{3}-3\Big)^2=25+\Big(-\tfrac{8}{3}\Big)^2=25+\tfrac{64}{9}=\dfrac{289}{9}$, czyli $r=\dfrac{17}{3}$.
Krok 5. Równanie okręgu. $\, (x-0)^2+\Big(y-\tfrac{1}{3}\Big)^2=\dfrac{289}{9}$. W postaci ogólnej po rozwinięciu: $\,x^2+y^2-\dfrac{2}{3}y-32=0$ (równoważnie po pomnożeniu przez $3$: $\3x^2+3y^2-2y-96=0$).