Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o boku długości $3$. Dłuższa przekątna graniastosłupa ma długość $6$, a jego wysokość jest równa $2\sqrt{3}$. Oblicz pole podstawy tego graniastosłupa.
Dany jest graniastosłup prosty o wysokości $h=2\sqrt{3}$, którego podstawą jest romb o boku $a=3$. Wiemy, że dłuższa przekątna graniastosłupa (przekątna bryły) ma długość $6$.
Krok 1. W graniastosłupie prostym przekątna bryły powstaje z prostopadłych składowych: wysokości $h$ oraz przekątnej podstawy. Dłuższej przekątnej bryły odpowiada dłuższa przekątna rombu - oznaczmy ją przez $p$. Wówczas
$\sqrt{h^2+p^2}=6 \Rightarrow p^2 = 6^2 - h^2 = 36 - (2\sqrt{3})^2 = 36 - 12 = 24$,
czyli $p=2\sqrt{6}$.
Krok 2. Niech $q$ będzie krótszą przekątną rombu. Dla rombu z przekątnymi $p,q$ i bokiem $a$ zachodzi
$a^2 = \left(\dfrac{p}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{q}{2}\right)^2 \Rightarrow p^2 + q^2 = 4a^2.$
Stąd
$q^2 = 4a^2 - p^2 = 4\cdot 3^2 - 24 = 36 - 24 = 12$,
czyli $q = 2\sqrt{3}$.
Krok 3. Pole rombu (podstawy graniastosłupa) wynosi
$ S_{\text{podst}} = \dfrac{pq}{2} = \dfrac{(2\sqrt{6})(2\sqrt{3})}{2} = 2\sqrt{18} = 2\cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.