W trzywyrazowym ciągu geometrycznym $(a_1, a_2 , a_3)$ spełniona jest równość $a_1 + a_2 + a_3 = \frac{21}{4}$.
Wyrazy $a_1, a_2 , a_3$ są odpowiednio czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz $a1$.
Dany jest trójwyrazowy ciąg geometryczny $(a_1,a_2,a_3)$, w którym $a_1+a_2+a_3=\dfrac{21}{4}$. Wiemy też, że $a_1,a_2,a_3$ są odpowiednio 4., 2. i 1. wyrazem pewnego rosnącego ciągu arytmetycznego.
Niech ten ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz $t_1=x$ i różnicę $d>0$. Wówczas:
$,a_3=t_1=x,\quad a_2=t_1+d=x+d,\quad a_1=t_1+3d=x+3d.$
Ponieważ $(a_1,a_2,a_3)$ tworzą ciąg geometryczny, zachodzi warunek na trzy kolejne wyrazy:
$,a_2^2=a_1a_3 \Longrightarrow (x+d)^2=(x+3d),x.$
Rozwijamy i upraszczamy:
$,x^2+2dx+d^2=x^2+3dx \Longrightarrow d^2=dx \Longrightarrow d(d-x)=0.$
Ponieważ ciąg arytmetyczny jest rosnący, $d>0$, stąd $,d=x.$
Zatem $,a_3=x,; a_2=x+d=2x,; a_1=x+3d=4x.$ Suma daje:
$,a_1+a_2+a_3=4x+2x+x=7x=\dfrac{21}{4}\Longrightarrow x=\dfrac{3}{4}.$