Zadanie 56

Dane są dodatnie liczby $a,b$ spełniające równość $a^2 + 2a = 4b^2 + 4b$. Chcemy wykazać, że $a=2b$.

Krok 1. Dodajemy $1$ do obu stron, aby domknąć kwadraty:
$a^2 + 2a + 1 = 4b^2 + 4b + 1$.

Krok 2. Rozpoznajemy wzory skróconego mnożenia:
$ (a+1)^2 = (2b+1)^2$.

Krok 3. Pierwiastkujemy obie strony. Ponieważ $a>0$ i $b>0$, mamy $a+1>0$ oraz $2b+1>0$, zatem odpada możliwość ujemnego znaku po spierwiastkowaniu i dostajemy
$ a+1 = 2b+1$.

Krok 4. Przenosimy składniki:
$ a = 2b$.

Wniosek: $ a = 2b$.