Zadanie 55

Uprośćmy wyrażenie $\,\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\,$.

Skorzystamy z tożsamości dla sumy/różnicy pierwiastków (tzw. „oswajanie” dwupoziomowych pierwiastków):

$\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}, \quad \sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$.

Łatwo sprawdzić, podnosząc do kwadratu, np.

$\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{6+2+2\sqrt{12}}{4}=\frac{8+4\sqrt{3}}{4}=2+\sqrt{3}$, analogicznie dla znaku „$-$”.

Podstawiamy do wyrażenia:

$\displaystyle \sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}=\frac{-2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$.

Odpowiedź: $-\sqrt{2}$.