Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie cyfry nieparzyste.
Szukamy liczby pięciocyfrowych liczb naturalnych, w których dokładnie dwie cyfry są nieparzyste. Niech zbiory cyfr: nieparzyste $=\{1,3,5,7,9\}$ (5 możliwości), parzyste $=\{0,2,4,6,8\}$ (5 możliwości). Cyfra wiodąca nie może być zerem.
Krok 1. Rozbijamy na przypadki według pierwszej cyfry.
(1) Pierwsza cyfra jest nieparzysta.
(2) Pierwsza cyfra jest parzysta (ale różna od zera).
Krok 2. Przypadek (1): pierwsza cyfra nieparzysta.
Skoro ma być dokładnie 2 nieparzyste, to poza pierwszą cyfrą dokładnie jedna z pozostałych 4 pozycji jest nieparzysta: $\binom{4}{1}=4$ sposobów.
Wybory cyfr: pierwsza (nieparzysta) $=5$ możliwości ta druga nieparzysta $=5$ możliwości pozostałe 3 pozycje parzyste (tu wolno $0$) $=5^3$ możliwości.
Z reguły mnożenia dostajemy: $4\cdot 5\cdot 5\cdot 5^3 = 4\cdot 25\cdot 125=12500$.
Krok 3. Przypadek (2): pierwsza cyfra parzysta (niezero).
Pierwsza cyfra: $4$ możliwości ($2,4,6,8$). Dwie nieparzyste muszą znaleźć się wśród pozostałych 4 pozycji: $\binom{4}{2}=6$ sposobów.
Wybory cyfr: dwie nieparzyste $=5^2$ pozostałe dwie pozycje parzyste (tu wolno $0$) $=5^2$.
Łącznie: $6\cdot 4\cdot 5^2\cdot 5^2 = 6\cdot 4\cdot 625 = 15000$.