Zadanie 62

Rozwiążemy nierówność $\,|2x-1|+x \le 5+|x+5|$. Kluczowe punkty to miejsca zerowania wyrażeń pod wartością bezwzględną: $2x-1=0 \Rightarrow x=\tfrac12$ oraz $x+5=0 \Rightarrow x=-5$. Rozpatrujemy trzy przedziały: $(-\infty,-5]$, $[-5,\tfrac12]$, $[\tfrac12,\infty)$.

Przypadek 1: $x\le -5$.
$2x-1\le 0 \Rightarrow |2x-1|=-2x+1$, oraz $x+5\le 0 \Rightarrow |x+5|=-x-5$.
Nierówność: $(-2x+1)+x \le 5+(-x-5)$ $\Longleftrightarrow$ $-x+1 \le -x$ $\Longleftrightarrow$ $1\le 0$ (fałsz).
Brak rozwiązań w tym przedziale.

Przypadek 2: $-5\le x\le \tfrac12$.
$2x-1\le 0 \Rightarrow |2x-1|=-2x+1$, oraz $x+5\ge 0 \Rightarrow |x+5|=x+5$.
Nierówność: $(-2x+1)+x \le 5+(x+5)$ $\Longleftrightarrow$ $-x+1 \le x+10$ $\Longleftrightarrow$ $-2x\le 9$ $\Longleftrightarrow$ $x\ge -\tfrac{9}{2}$.
Po przecięciu z $[-5,\tfrac12]$ dostajemy $,\left[-\tfrac{9}{2},,\tfrac12\right]$.

Przypadek 3: $x\ge \tfrac12$.
$2x-1\ge 0 \Rightarrow |2x-1|=2x-1$, oraz $x+5\ge 0 \Rightarrow |x+5|=x+5$.
Nierówność: $(2x-1)+x \le 5+(x+5)$ $\Longleftrightarrow$ $3x-1 \le x+10$ $\Longleftrightarrow$ $2x\le 11$ $\Longleftrightarrow$ $x\le \tfrac{11}{2}$.
Po przecięciu z $[\tfrac12,\infty)$ dostajemy $,\left[\tfrac12,,\tfrac{11}{2}\right]$.

Wniosek.
Zbierając przypadki 2 i 3, otrzymujemy zbiór rozwiązań:
$\displaystyle \boxed{x\in\left[-\tfrac{9}{2},,\tfrac{11}{2}\right]}$.