Zadanie 63

Dane: $A=(-9,-2)$, $B=(4,2)$ oraz szukany punkt $C$ leżący na osi $OY$, więc $C=(0,y)$. Warunek: kąt $ACB$ jest prosty, czyli wektory $\overrightarrow{CA}$ i $\overrightarrow{CB}$ są prostopadłe.

Krok 1. Zapisz wektory od $C$ do $A$ i $B$:
$\overrightarrow{CA}=A-C=(-9-0,,-2-y)=(-9,,-2-y)$,
$\overrightarrow{CB}=B-C=(4-0,,2-y)=(4,,2-y)$.

Krok 2. Prostopadłość: iloczyn skalarny równy zeru:
$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-9)\cdot 4+(-2-y)(2-y)=0$.
$-36-(2+y)(2-y)=0$.
Ponieważ $(2+y)(2-y)=4-y^2$, mamy: $-36-(4-y^2)=0 \Longleftrightarrow y^2-40=0$.

Krok 3. Rozwiąż równanie dla $y$:
$y^2=40 \Longleftrightarrow y=\pm\sqrt{40}=\pm 2\sqrt{10}$.

Wniosek: Punkt $C$ leży na osi $OY$ i ma współrzędne
$\boxed{C=\big(0,2\sqrt{10}\big)}$ lub $\boxed{C=\big(0,-2\sqrt{10}\big)}$.