Chcemy przedstawić wielomian:
$W(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$
w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych, przy czym współczynnik przy $x^2$ w każdym z nich ma być równy $1$.
1. Załóżmy więc, że:
$W(x) = (x^2 + px + q)(x^2 + rx + s)$,
gdzie $p, q, r, s$ są liczbami całkowitymi.
2. Rozmnażamy iloczyn:
$(x^2 + px + q)(x^2 + rx + s) = x^4 + (p + r)x^3 + (q + s + pr)x^2 + (ps + qr)x + qs$.
3. Porównujemy współczynniki z wielomianem:
$x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$.
Otrzymujemy układ równań:
1) $p + r = -2$ (współczynnik przy $x^3$),
2) $q + s + pr = -3$ (współczynnik przy $x^2$),
3) $ps + qr = 4$ (współczynnik przy $x$),
4) $qs = -1$ (wyraz wolny).
4. Z równania $qs = -1$ wnioskujemy, że $q$ i $s$ są całkowite i ich iloczyn to $-1$.
Możliwe pary: $(q, s) = (1, -1)$ lub $(q, s) = (-1, 1)$.
5. Sprawdźmy najpierw parę $(q, s) = (1, -1)$.
Wtedy równanie 2) przyjmuje postać:
$q + s + pr = 1 + (-1) + pr = 0 + pr = -3$, czyli $pr = -3$.
6. Teraz używamy równań:
$p + r = -2$,
$pr = -3$.
Szukamy liczb całkowitych $p$ i $r$ o sumie $-2$ i iloczynie $-3$.
Możliwe pary o iloczynie $-3$ to: $(1, -3)$, $(-1, 3)$, $(3, -1)$, $(-3, 1)$.
Sprawdźmy sumy:
$1 + (-3) = -2$ – pasuje, więc $p = 1$, $r = -3$ (ale kolejność możemy też zamienić).
Zauważmy jednak, że w równaniu 3) potrzebujemy $ps + qr = 4$. Sprawdźmy dokładnie.
Ustalmy inną kolejność: $p = -3$, $r = 1$ (też daje $p + r = -2$ i $pr = -3$).
7. Teraz sprawdzamy równanie 3) dla $p = -3$, $r = 1$, $q = 1$, $s = -1$:
$ps + qr = (-3)\cdot(-1) + 1\cdot 1 = 3 + 1 = 4$ – zgadza się!
8. Zatem znaleźliśmy odpowiednie współczynniki:
$p = -3$, $q = 1$, $r = 1$, $s = -1$.
Otrzymujemy rozkład:
$W(x) = (x^2 - 3x + 1)(x^2 + x - 1)$.
9. Krótkie sprawdzenie przez wymnożenie:
$(x^2 - 3x + 1)(x^2 + x - 1) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$.
Zgadza się z wyjściowym wielomianem.
Odpowiedź:
$W(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 = (x^2 - 3x + 1)(x^2 + x - 1)$.