Zadanie 65

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony dla $n \ge 1$ taki, że:
$a_1 = 2$
oraz dla każdego $n \ge 1$ zachodzi zależność rekurencyjna:
$a_n = 3 \cdot a_{n+1} + n^2$.

Chcemy obliczyć sumę trzech pierwszych wyrazów: $a_1 + a_2 + a_3$.

Najpierw wyznaczymy wzór na $a_{n+1}$ z podanej zależności:
$ a_n = 3a_{n+1} + n^2 $
$ \Rightarrow 3a_{n+1} = a_n - n^2 $
$ \Rightarrow a_{n+1} = \dfrac{a_n - n^2}{3} $.

Obliczamy $a_2$ dla $n = 1$:
$ a_2 = \dfrac{a_1 - 1^2}{3} = \dfrac{2 - 1}{3} = \dfrac{1}{3} $.

Obliczamy $a_3$ dla $n = 2$:
$ a_3 = \dfrac{a_2 - 2^2}{3} = \dfrac{\dfrac{1}{3} - 4}{3} $.
Najpierw upraszczamy licznik:
$ \dfrac{1}{3} - 4 = \dfrac{1}{3} - \dfrac{12}{3} = -\dfrac{11}{3} $.
Zatem:
$ a_3 = \dfrac{-\dfrac{11}{3}}{3} = -\dfrac{11}{9} $.

Teraz liczymy sumę $a_1 + a_2 + a_3$:
$ a_1 + a_2 + a_3 = 2 + \dfrac{1}{3} - \dfrac{11}{9} $.
Sprowadzamy do wspólnego mianownika $9$:
$ 2 = \dfrac{18}{9}, \quad \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{9} $.
Zatem:
$ a_1 + a_2 + a_3 = \dfrac{18}{9} + \dfrac{3}{9} - \dfrac{11}{9} = \dfrac{18 + 3 - 11}{9} = \dfrac{10}{9} $.

Odpowiedź: $a_1 + a_2 + a_3 = \dfrac{10}{9}$.