Zadanie 66

Szukamy siedmiocyfrowych liczb naturalnych, których iloczyn cyfr jest równy $28$.

Zapisujemy rozkład liczby $28$ na czynniki pierwsze:
$28 = 2^2 \cdot 7^1$.

Iloczyn cyfr ma być równy $28$, więc każda cyfra musi być dzielnikiem $28$ i nie może być równa $0$ (bo wtedy iloczyn byłby $0$).
Możliwe cyfry to: $1, 2, 4, 7$ (cyfry $14$ i $28$ odpadają, bo nie są cyframi).

Oznaczmy:
$x$ – liczbę cyfr równych $2$,
$y$ – liczbę cyfr równych $4$,
$z$ – liczbę cyfr równych $7$,
$w$ – liczbę cyfr równych $1$.

Mamy łącznie 7 cyfr, więc:
$ x + y + z + w = 7 $.

Patrzymy na potęgi liczby $2$ w iloczynie cyfr:
cyfra $2$ wnosi $2^1$,
cyfra $4$ wnosi $2^2$,
cyfry $1$ i $7$ nie wnoszą czynników $2$.

Łącznie chcemy mieć $2^2$, więc:
$ x + 2y = 2 $.

Patrzymy na potęgi liczby $7$ w iloczynie cyfr:
tylko cyfra $7$ wnosi czynnik $7^1$,
chcemy mieć dokładnie $7^1$, więc:
$ z = 1 $.

Rozwiązujemy układ równań:
$ z = 1 $, więc podstawiamy do sumy cyfr:
$ x + y + 1 + w = 7 \Rightarrow x + y + w = 6 $.
Mamy też: $ x + 2y = 2 $.

Rozwiązujemy $x + 2y = 2$ w liczbach całkowitych nieujemnych:
Możliwe pary $(x, y)$ to:
$x = 2$, $y = 0$ (bo $2 + 2\cdot0 = 2$),
$x = 0$, $y = 1$ (bo $0 + 2\cdot1 = 2$).

Dla każdej z tych par obliczamy $w$ z równania $x + y + w = 6$.

Przypadek A: $x = 2$, $y = 0$, $z = 1$.
Wtedy:
$ w = 6 - (2 + 0) = 4 $.
Czyli mamy cyfry: dwie $2$, jedna $7$ oraz cztery $1$.
Zapis multizbioru cyfr: ${2,2,7,1,1,1,1}$.

Liczba wszystkich różnych siedmiocyfrowych permutacji tych cyfr:
$ \dfrac{7!}{4!\cdot 2!\cdot 1!} = \dfrac{5040}{24\cdot 2} = \dfrac{5040}{48} = 105 $.

Przypadek B: $x = 0$, $y = 1$, $z = 1$.
Wtedy:
$ w = 6 - (0 + 1) = 5 $.
Czyli mamy cyfry: jedna $4$, jedna $7$ oraz pięć $1$.
Zapis multizbioru cyfr: ${4,7,1,1,1,1,1}$.

Liczba wszystkich różnych siedmiocyfrowych permutacji tych cyfr:
$ \dfrac{7!}{5!\cdot 1!\cdot 1!} = \dfrac{5040}{120} = 42 $.

Żadnych innych przypadków nie ma (wyczerpaliśmy wszystkie rozwiązania równania $x + 2y = 2$ w liczbach nieujemnych).

Sumujemy liczby uzyskanych siedmiocyfrowych liczb:
$ 105 + 42 = 147 $.

Odpowiedź: istnieje $147$ siedmiocyfrowych liczb naturalnych, których iloczyn cyfr jest równy $28$.