Zadanie 67

Rozwiązujemy nierówność $-2\sin{3x} \ge 1$ w przedziale $[0,2\pi]$.

Najpierw pozbywamy się liczby przed sinus:
$-2\sin{3x} \ge 1$
Dzielimy obie strony przez $-2$ (pamiętając, że przy dzieleniu przez liczbę ujemną znak nierówności się odwraca):
$\sin{3x} \le -\dfrac{1}{2}$.

Wprowadzamy zmienną pomocniczą:
Niech $t = 3x$.
Ponieważ $x \in [0,2\pi]$, to $t = 3x \in [0,6\pi]$.
Nierówność ma teraz postać:
$\sin t \le -\dfrac{1}{2}$ dla $t \in [0,6\pi]$.

Zastanawiamy się, gdzie sinus przyjmuje wartość $-\dfrac{1}{2}$ na jednym okresie $[0,2\pi]$:
$\sin t = -\dfrac{1}{2}$ dla:
$t = \dfrac{7\pi}{6}$ oraz $t = \dfrac{11\pi}{6}$.

Na wykresie sinusa na przedziale $[0,2\pi]$ zachodzi:
$\sin t \le -\dfrac{1}{2}$ dla $t \in \left[\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}\right]$.

Ponieważ interesuje nas $t \in [0,6\pi]$, musimy uwzględnić kolejne okresy funkcji sinus:
Okres sinusa to $2\pi$, więc dodajemy $2k\pi$ (dla całkowitych $k$):
$\sin t \le -\dfrac{1}{2}$ dla
$t \in \left[\dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi,\ \dfrac{11\pi}{6} + 2k\pi\right]$.

Szukamy tych przedziałów dla $t \in [0,6\pi]$:
Dla $k = 0$:
$t \in \left[\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}\right]$.

Dla $k = 1$:
$t \in \left[\dfrac{7\pi}{6} + 2\pi,\ \dfrac{11\pi}{6} + 2\pi\right] = \left[\dfrac{19\pi}{6}, \dfrac{23\pi}{6}\right]$.

Dla $k = 2$:
$t \in \left[\dfrac{7\pi}{6} + 4\pi,\ \dfrac{11\pi}{6} + 4\pi\right] = \left[\dfrac{31\pi}{6}, \dfrac{35\pi}{6}\right]$.

Sprawdzamy, że wszystkie mieszczą się w $[0,6\pi]$, bo $6\pi = \dfrac{36\pi}{6}$.

Wracamy do zmiennej $x$, pamiętając że $t = 3x$:
Jeśli $3x \in \left[\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}\right]$, to dzielimy wszystko przez $3$:
$x \in \left[\dfrac{7\pi}{18}, \dfrac{11\pi}{18}\right]$.

Jeśli $3x \in \left[\dfrac{19\pi}{6}, \dfrac{23\pi}{6}\right]$, to:
$x \in \left[\dfrac{19\pi}{18}, \dfrac{23\pi}{18}\right]$.

Jeśli $3x \in \left[\dfrac{31\pi}{6}, \dfrac{35\pi}{6}\right]$, to:
$x \in \left[\dfrac{31\pi}{18}, \dfrac{35\pi}{18}\right]$.

Wszystkie te przedziały zawierają się w $[0,2\pi]$, ponieważ $2\pi = \dfrac{36\pi}{18}$.

Ostatecznie rozwiązaniem nierówności w przedziale $[0,2\pi]$ jest:
$x \in \left[\dfrac{7\pi}{18}, \dfrac{11\pi}{18}\right] \cup \left[\dfrac{19\pi}{18}, \dfrac{23\pi}{18}\right] \cup \left[\dfrac{31\pi}{18}, \dfrac{35\pi}{18}\right]$.